同构是指在某种数学结构下，两个对象之间存在一种结构保持的双射映射，即通过这个映射，可以将一个对象中的元素转换为另一个对象中的元素，同时保持其结构。则主要应用于流形、拓扑空间和微分几何中，关注的是保持空间的拓扑和微分结构。微分同胚是拓扑学和微分几何中的一个概念，描述的是两个流形之间的关系。要求映射保持拓扑结构和微分结构，确保映射和其反向映射是光滑的（可微的），并且不会破坏空间的连续性和导数性质。它们

是一个专门用于的库，称为 PyTorch Geometric（简称 PyG），它并不包含在 PyTorch 的默认安装中，因此你需要单独安装它。需要根据他们的版本来确定PyG的安装版本。

因此，切向量不是简单的空间中的普通向量，它是一个与流形的局部结构相切的向量。在流形的每个点上，都有一个切空间，这个切空间描述了从该点出发的所有可能的“方向”。切丛本身是一个流形，它不仅包含流形上每个点的信息，还包含了这些点的局部变化方向的信息。换句话说，切丛描述了地球上每个点的所有可能方向，是一个庞大的向量空间，包含了地球表面每个点的所有切向量。而你的切空间就是所有可能的方向的集合，也就是所有与赤

网址：https://developer.nvidia.com/cuda-11-8-0-download-archive。网址：https://developer.nvidia.com/rdp/cudnn-archive。这里，我选择了cuDNN==8.9.7对应的windows版本，下载该zip文件。，因为这不是第一次安装了，为了避免冲突，仅选择主要组件。在下述路径栏输入：cmd（打开该路径的终

通过弹簧振子这个简单的例子，我们展示了如何通过相空间分析来理解系统的稳定性、周期性和守恒量，而不需要具体求解复杂的二阶方程。相空间提供了一种更直观、更高效的方法，让我们从系统的几何结构中直接发现它的重要特性。