Hash函数(也称散列函数或散列算法)的输入为任意长度的消息，而输出为某一固定长度的消息。即 Hash 函数将任意长度的消息串 M 映射成一个较短的，记为 H。称 H(M)为消息 M 的 Hash值或消息摘要（message digest），有时也称为消息的指纹。通常 Hash 函数应用于等方面。设 H 是一个 Hash 函数，x 是任意长度的二元串，相应的消息摘要为y=H(x)，通常消息摘要是一

接着我们可以借助此性质对q-ary垂直格的矩阵A进行扩展，形成新的q-ary垂直格。今天，可以从抽象代数的角度理解格点：m维的格。这个定理的证明需要用到很多线性代数的基础，如果有人感兴趣，后期再补上吧。格密码的基础是研究格点上的困难问题，这种格点使用抽象代数的观点则是。右边代表对矩阵A的变换，看q-ary格的原始定理可直接列出。（在非满秩情况下，格的维度比最大的维度要小）。当然，正常情况下，研究格

在格密码中，LWE(Learning With Errors)问题非常重要，本文章将介绍一些基于LWE设计的公钥密码方案，并详细讨论这些方案是如何运行的。这些方案讲重点关注IND-CPA安全（不可区分性-选择明文攻击安全）。IND-CPA安全简单来讲就是，窃听者获得公钥和密文，不会学习到关于明文的任何信息。基于LWE问题也可以用来设计全同态加密，此处就不作过多拓展。

堆球问题又叫堆球理论、最密堆积、球填充，英文为The Theory Of Sphere Packings。堆球问题的本质就是填充一堆大小相同的球。要求这些球是刚球，互相之间不能重叠，寻找其最大的密度。关于该密度，简单给一个解释，假设有一个边长为a的立方体的箱子，最大可以放n个体积为v的小球，那么堆球的最大密度即为：备注：很明显该处例子为三维情况，还可以是四维、五维、······（可以思考下高维下球

令R代表环（Ring），多项式环中x对应的系数则取自于环R，其标准的表达形式如下：假如有另外一个多项式的表达形式如下：如果两个多项式对应的系数均相等，也就是：那么则可以说两个多项式相等，也就是f(x)=g(x)。简单观察下两个多项式的系数，不难发现：以及：在多项式g(x)中，x被称之为不定项（indeterminant），是首项系数（leading coefficient），是常数项（consta

前言用插值的方法对数据进行近似时，要求所得到的插值多项式经过已知节点。在数据点比较多的情况下，插值多项式往往是高次多项式，这时就很容易出现振荡现象，也称之为龙格现象。这种现象虽然在插值节点上没有误差，但是在插值节点之外插值误差变得很大，从整体上看，插值逼近的效果就变得很差。由此我们需要利用数据拟合方法，数据拟合就是求一个简单的函数或多项式，例如是一个低次多项式，不要求一定得通过已知的这些点，而要求

一. 约化基令为约化基，可得。当时，结论可化简为。证明：

一次一密方案，英语写做one time pad encryption scheme一次一密方案可以实现完美安全（perfectly secret），但是这些方案是有局限性的，比如所有完美安全的方案密钥空间都要大于等于消息空间，这个定理待会我们会利用密码学专业术语进行证明。如果假定密钥的长度固定，消息空间（message space）里的明文长度也固定的话，那么完美安全就要求密钥的长度大于等于消息的

令R和S代表两个环（ring），同态可以简单理解成从R到S的某种映射，如下：接下来我将通过几个性质来解释下到底什么叫同态。

因此，当阶数 n 很大时，计算量相当大．所以，在计算行列式的值时，往往不用行列式的表达式．而是针对所给的具体行列式的特点，利用行列式的基本性质，将行列式的值求出来．。可以想到，如果对角线处的元素出现了0，那么也就出现了0行向量，那么该矩阵的行列式即为0，也就是所有的奇异矩阵（singular matrices）的行列式均为0。交换该矩阵的行向量位置，其行列式是不变的，布尔代数理论（Boolean