根据我们现在掌握的知识，含空格的字符串，如要读取有 fgets 、 scanf 、getchar 、 getline 四种⽅式解决，但是有时候，根据题⽬的情况，不⼀定⾮要完整的读取这个带空格的字符串，⽽是将字符串中空格隔开的每⼀个字符串，当做⼀个单词处理更⽅便，也避免了读取带空格字符串的各种问题。这两个案例中，输⼊的数据量都⽐较⼤，在输⼊数据的时候如果使⽤ cin ，都会出现超时的问题，但是换成是

因为最小边的不会被其它的点松弛，只有可能最小边去松弛别人。如果存在一个点 K 能够松弛 ab 的话那么一定有 ak 距离加上 kb 的距离小于 ab，已知 ab 最短，所以不存在 ak+kb

关于递推法和递归法的介绍，以及斐波那契数列问题、数字三角形、42点问题、数的计算和数的划分的题解

当我们需要获取⼀个整数x的⼆进制中第 i 位（从低到⾼，以最低位为第 0 位）是1还是0的时候，我们可以对 x 做这样的运算： (x >> i) & 1 ，如果结果是 0 ，表⽰第 i 位是 0 ，如果结果是 1 ，表⽰第 i 位是 1。有时候需要从⼀个整数 x 的 2 进制中取出某个位或者某⼏个位，使取出的位置上保留原来的值，其他位置为 0 ，这时候可以使⽤⼀个值 m ，使 m 的 2 进制位中

如果流成功读取到⼀个值， cin >> s 返回的流对象cin 将被转换为true ，循环将继续。如果读取失败（例如遇到输⼊结束符或⽆法读取到⼀个值）， cin >> s 返回的流对象 cin 将被转换为 false ，循环将停⽌。如果流的状态良好（即没有发⽣错误），流对象的布尔值为 true。有时候处理⼀个字符串的时候，也不⼀定要⼀次性读取完整个字符串，如果字符串中有空格的话，其实可以当做多个单

在 while (cin >> a >> b) 语句中，循环的条件部分检查 cin 流的状态。如果流成功读取到2个值， cin >> a >> b 返回的流对象 cin 将被转换为 true ，循环将继续。如果读取失败（例如遇到输⼊结束符或⽆法读取到2个值）， cin >> a >> b 返回的流对象 cin 将被转换为 false ，循环将停⽌。如果流的状态良好（即没有发⽣错误），流对象的布尔值

暴力法的最后一块拼图枚举题题目需要处理大量同类情况暴力枚举所有情况利用计算机强大的算力注意：不要遗漏任何情况注意：如果枚举量太大，需要剪枝。

此时如果需要⽤数据的值来映射数组的下标时，就可以⽤离散化的思想先预处理⼀下所有的数据，使得每⼀个数据都映射成⼀个较⼩的值。由于「区间的⻓度」很⼤，暴⼒模拟的时候会超时。但是我们发现，虽然区间⻓度很⼤，但是「区间的个数」是很少的，所以我们可以「离散化」处理⼀下区间的端点值，然后在「离散化的基础上」模拟覆盖情况。在涉及「区间覆盖」问题上，离散化会导致「结果出错」。此时「单个区间内部」就出现空隙，「区间

正好是多重背包求⽅案数的模型，我们可以⽤多重背包的思考⽅式来解决这道题。个，在总数恰好等于m 时的总⽅案数。连续的⼆进制数有⼀个性质，就是。解法⼆：转化成01背包问题。优化⽅式：⽤⼆进制将。题意：每⼀种花可以选。

⼆分答案可以处理⼤部分「最⼤值最⼩」以及「最⼩值最⼤」的问题。如果「解空间」在从⼩到⼤的「变化」过程中，「判断」答案的结果出现「⼆段性」，此时我们就可以「⼆分」这个「解空间」，通过「判断」，找出最优解。设每次跳的最短距离是x ，移⾛的⽯头块数为c。设要切成的⻓度为x ，能切成的段数为c。设伐⽊机的⾼度为H ，能得到的⽊材为C。这个「⼆分答案」的原理其实很容易理解，重点是如何去「判断」答案的可⾏性。