将一维机械振动信号转换为二维图像，是后续深度学习诊断的常见前置步骤，然而传统递归图仅依靠相空间轨迹的欧氏距离来度量相似性，忽略了动力系统内在的辛结构守恒特性。对于旋转机械这类近似保守系统，辛结构的微小变化往往预示着早期故障，但欧氏距离对此并不敏感。

本文提出的辛几何谱驱动递归图核心思路是用局部相空间的辛几何谱作为描述子，在谱空间度量相似性，再通过高斯核生成概率递归图，这个过程天然保留了相轨迹的辛对称性和动力学演化信息，使图像能更精细地刻画非线性状态与微弱故障引起的动力学变化。

01 问题动机：丢失的辛结构信息

旋转机械振动信号具有准周期性，其相空间轨迹在理想状态下应遵循哈密顿系统的辛结构——面积保持、等谱流等，当故障处于萌芽期，信号能量变化往往不明显，但相空间会出现局部扭曲、扭结或体积形变，传统的递归图直接用欧氏距离比较两个时刻的状态向量，它度量的是“点对点”的绝对差异，无法捕捉这种“体积与形状”层面的拓扑变化。

辛几何谱来自哈密顿矩阵的特征值，它反映的是相轨迹局部张缩和扭转的强度，用辛谱去描述一小段信号，就像给这段动力学“拍照”，照片里记录的是辛结构的瞬时状况，对比两张“照片”的相似度，就能更灵敏的发现辛结构的异常变化，因此用辛谱距离替代欧氏距离，是让递归图具备物理不变性感知能力的关键。

02 设计逻辑：从辛谱到概率递归图

2.1 局部辛几何谱提取

对于给定的振动信号，先用一个定长的滑动窗口截取若干子段，对每个子段，执行相空间重构，得到轨迹矩阵（注意嵌入维数必须为偶数，以保持辛结构的完整性）。随后利用标准辛矩阵构造该子段的哈密顿矩阵，并对其进行特征值分解。

哈密顿矩阵的特征值成对出现，反映了系统的局部模态耦合和能量流，取特征值的绝对值并按降序排列，便得到了该子段的辛谱向量，这个向量的长度等于嵌入维数，它浓缩了该窗口内辛结构的主要特征。

2.2 辛谱距离与高斯核映射

所有滑动窗口会生成一组辛谱向量，每个向量代表一段局部动力学，计算它们之间的欧氏距离，相当于在辛谱空间度量两段信号的相似程度：距离越小，两段信号在辛结构意义上越相似。

接下来用一个高斯核函数将距离矩阵映射为 [0,1] 范围内的概率值，核宽度 σ 控制着相似性判定的敏感程度，这样一来，原本的距离矩阵变成了一个概率递归矩阵，每个元素表示两个窗口“在辛结构视角下有多大概率属于同一动力学状态”。

2.3 图像化输出

概率递归矩阵本身就是一幅二维灰度图像，像素值的大小直接对应辛结构相似度，图像中的纹理、斑块反映了信号的动力学周期性和状态迁移。与传统的递归图相比，该图像对绝对幅值不敏感，而对相空间体积变化、模态耦合异常更加敏感，因此更稳定地反映旋转机械的故障本质。最后，通过双线性插值将图像缩放到固定尺寸，即可作为标准输入，用于后续的可视化分析或分类器训练。

参考文章：

辛几何驱动递归图：保留相空间辛结构的振动信号图像化方法（Python）

如果你对信号滤波/降噪，机器学习/深度学习，时间序列预分析/预测，设备故障诊断/缺陷检测/异常检测有疑问，或者需要论文思路上的建议（kang20224），欢迎学术付费咨询

工学博士，《MSSP》《中国电机工程学报》《宇航学报》《控制与决策》等期刊审稿专家，擅长领域：信号滤波/降噪，机器学习/深度学习，时间序列预分析/预测，设备故障诊断/缺陷检测/异常检测