闭源操作系统（如 Windows）依赖的是“商业契约”：你付钱，我给你一个黑箱子，承诺你不出错。开源操作系统（如 Linux）依赖的是“社会契约”：大家共同维护，出了问题你可以改，改完了再分享给别人。

💡分析细节：通过 “y = x” 这个函数，将方阵一分为二，左上、右下，通过对右下的某一列分析（不包含坐标轴），横坐标不变、恒为 x，纵坐标在 1~x 之间徘徊，再通过分析发现，为题解的点，其纵坐标均与横坐标互质，由此，就可以推断出，对于右下部分，题解为其 1~n 的欧拉函数之和，左上和右下一样，所以乘2，多余的一个点补掉了坐标轴上的那个点，本编介绍两道欧拉函数经典OJ题，均属于4颗星级别，就是

0：就代表 i 和 p[j] 是互质的，就可以用欧拉函数的性质三，x 的欧拉函数就是 （i 的欧拉函数）* （p[j] 的欧拉函数），p[j] 是质数，又可以用欧拉函数的性质一，p[j] - 1，对于一个数 n，在 1~n 中，与 n 互质的数的个数，就是欧拉函数，用。由此可知，在求解某一个数的欧拉函数时，我们只需要知道它的质因数就可以求解。问题背景：需要知道 [1，n] 中，每个数的欧拉函数。如

首先在C++里面，它是有属于自己的头文件的，但是他也可以和C语言中的一些头文件进行兼容，毕竟C++是C语言的更高层次延申啦，不过兼容的头文件需要转化成C++形式的头文件，才能在C++当中运用。：在C语言中，对字符串的解释与在C++中对其的解释是一样的（用英文双引号括起来的部分，当然包括双引号本身，统称为字符串，所谓的部分，你可以是一长串的英文或者是中文，也可以是单个的字母啥的，甚至是可以不放东西，

找到一个质数 x 的时候，我们可以从该数的 x 倍向后筛，因为小于 x 的倍数一定被之前的筛过了，例如：5 * 2，变个式，2 * 5，其实就是在找到质数 2 的时候已经筛过了。素数的判定那一块讲的是如何判断一个数是素数，如果此时想知道 [1，n] 中有多少个素数，或者是 [1，n] 中的素数里面，第 k 个素数是多少？任意大于 1 的质数，它的 k(k > 1) 倍就是合数。🤡从前往后遍历每个

🐻两个质数差值最大，就是遍历 p数组 从小质数到大质数遍历，第一个符合题目条件的就是两个差值最大的质数，如何判断，n - a = b，看看 b 这个质数有没有被标记上，没有就是质数，st[n - a] = false。🐻借助素数的判定中用试除法从 [1，sqrt r] 进行试除的原理，在筛质数里面，我们可以用 [1，sqrt r] 中的质数去筛掉 [l，r] 里面的合数。🦓测试用例会给 L

📌n 的所有因数中，不会出现两个因数同时大于 sqrt(n) 的情况；所以，枚举 [2，sqrt(n)] 中所有的数，如果能整除 n ，就一直处除下去，如果最后剩的是大于 1 的数，那就是大于 sqrt(n) 的因子。但是如果是 2 的倍数，比如 16，则会达到最优的 O(log n)。枚举一个一个阶乘数，因为是连乘，所以可以用这种方式，如果想先算完阶乘值再质因数分解，数太大了🙅‍。如果我们提

有一组数据在数组当中存储，我们默认第一个数为有序的，然后从他后面的数开始，先用一个变量把数据值保存，把这个数值在数组中对应的位置空出来，我们需要拿着这个数值和他前面的值一次进行比较，比较会出现两种情况：一、比前面的值小，前面的值要往后挪动到空位，又有新的空位，更新一下空位以及继续要比较的前一个数；，借助前后指针，一开始前指针指向key，后指针指向key+1位置，后指针指到的如果是小于key的值，前

，这始末宽度差就是这条时空通道的真实宽度，而被private和protected所修饰的部分，就像是被访问空间的禁地般，当然，这个禁地的领域范围计算与空间通道计算方式一样，对于禁地来说，设置着作用域访问操作符 （::）这样的令牌，如果有这禁地的访问令牌也是一样可以拜访禁地的。上面提到过，用类类型实例化出的对象并不包含成员函数，成员函数是放在公共代码区的，等待着对象调用，为了方便区别是哪个对象的，就

这题步骤就是正常动态规划五步走，只是由于物品不是无限多个，选的那几种情况就推不了通式了，循环能做，优化用二进制优化。f[i][j]表示：在前 i 个物品中挑选，在不超过背包承重 j 的情况下，所获的最大价值。解题算法：空间优化的动态规划 or 二进制优化：多重背包 -> 01背包（空间优化）f[i][j]表示：在前 i 物品挑选，不超过当前已有资产M，所获的最大利润。这题的本质是股票问题，贪心用的