目录

1 逻辑回归

1.1 肿瘤分类示例

1.2 逻辑函数(Logistic function)

1.3 逻辑回归模型

1.4 代码表达

2 决策边界(Decision boundary)

2.1 定义

2.2 推导

3 逻辑回归的代价函数

3.1 数据集

3.2 代价函数构建

3.3 简化代价函数

4 梯度下降

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1 逻辑回归

1.1 肿瘤分类示例

线性回归不适用这种分类，会改变肿瘤判断的标准，详情如下：

图中o为良性、x为恶性，是否为肿瘤阀值假设为0.5，则蓝色竖线（决策边界Decision boundary）左侧被判断为良性、右侧被判断为恶性；

当新增一个恶性肿瘤样本，线性回归最佳拟合曲线变成绿色的，阀值继续使用0.5时，样本中是恶性肿瘤的被判断为良性，原判断结论改变，预测有误。

1.2 逻辑函数(Logistic function)

逻辑函数也称(sigmoid function)，定义式为，图像如下右图。

1.3 逻辑回归模型

模型：

逻辑函数：

逻辑回归模型：

肿瘤分类例子：

x：肿瘤大小

y：肿瘤良性/恶性的概率

如果，则表示70%的概率肿瘤为恶性。

1.4 代码表达

import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from plt_one_addpt_onclick import plt_one_addpt_onclick
from lab_utils_common import draw_vthresh
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

# Input is an array. 
input_array = np.array([1,2,3])
exp_array = np.exp(input_array)

print("Input to exp:", input_array)
print("Output of exp:", exp_array)

# Input is a single number
input_val = 1  
exp_val = np.exp(input_val)

print("Input to exp:", input_val)
print("Output of exp:", exp_val)

def sigmoid(z):
    """
    Compute the sigmoid of z

    Args:
        z (ndarray): A scalar, numpy array of any size.

    Returns:
        g (ndarray): sigmoid(z), with the same shape as z
         
    """

    g = 1/(1+np.exp(-z))
   
    return g

# Generate an array of evenly spaced values between -10 and 10
z_tmp = np.arange(-10,11)

# Use the function implemented above to get the sigmoid values
y = sigmoid(z_tmp)

# Code for pretty printing the two arrays next to each other
np.set_printoptions(precision=3) 
print("Input (z), Output (sigmoid(z))")
print(np.c_[z_tmp, y])

输出：

Input (z), Output (sigmoid(z))
[[-1.000e+01  4.540e-05]
 [-9.000e+00  1.234e-04]
 [-8.000e+00  3.354e-04]
 [-7.000e+00  9.111e-04]
 [-6.000e+00  2.473e-03]
 [-5.000e+00  6.693e-03]
 [-4.000e+00  1.799e-02]
 [-3.000e+00  4.743e-02]
 [-2.000e+00  1.192e-01]
 [-1.000e+00  2.689e-01]
 [ 0.000e+00  5.000e-01]
 [ 1.000e+00  7.311e-01]
 [ 2.000e+00  8.808e-01]
 [ 3.000e+00  9.526e-01]
 [ 4.000e+00  9.820e-01]
 [ 5.000e+00  9.933e-01]
 [ 6.000e+00  9.975e-01]
 [ 7.000e+00  9.991e-01]
 [ 8.000e+00  9.997e-01]
 [ 9.000e+00  9.999e-01]
 [ 1.000e+01  1.000e+00]]

2 决策边界(Decision boundary)

2.1 定义

用于决策判断的分割线。

2.2 推导

当逻辑回归模型为，

如果，则、、，输出，此时预测为恶性。

另w1=w2=1,b=-3

则决策边界为，即

非线性决策边界同理。

3 逻辑回归的代价函数

3.1 数据集

m为训练样本数量，m为特征，y为目标标签，逻辑回归模型为

3.2 代价函数构建

逻辑回归的代价函数不用平方差误差函数，会出现如上右图所示非凸代价函数(non-convex)，即多个局部最小值情况。

因此，另损失，函数式如下：

当真实值为1，预测值越接近1，损失L就越小；

当真实值为0，预测值越接近0，损失L就越小。

3.3 简化代价函数

损失：

代价函数：

                               

4 梯度下降

代价函数：

梯度下降：