机器学习算法——神经网络3（误差逆传播算法-BP算法）

一、多层前馈神经网络要解决非线性可分问题，需考虑使用多层功能神经元。输入层和输出层之间的一层神经元，被称为隐层或隐含层（hidden layer）。隐含层和输出层神经元都是拥有激活函数的功能神经元。更一般的，常见的神经网络如下图所示的层级结构：图1 多层前馈神经网络结构示意图每层神经元与下一层神经元全互连，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接。这样的神经网络结构通常称为“多层前馈神经网络”（

Vicky_xiduoduo

3110人浏览 · 2022-05-12 15:32:58

Vicky_xiduoduo · 2022-05-12 15:32:58 发布

一、多层前馈神经网络

要解决非线性可分问题，需考虑使用多层功能神经元。

输入层和输出层之间的一层神经元，被称为隐层或隐含层（hidden layer）。

隐含层和输出层神经元都是拥有激活函数的功能神经元。

更一般的，常见的神经网络如下图所示的层级结构：

图1 多层前馈神经网络结构示意图

每层神经元与下一层神经元全互连，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接。这样的神经网络结构通常称为“多层前馈神经网络”（multi-layer feedforward neural networks），其中输入层神经元接受外界输入，隐层和输出层神经元对信号进行加工，最终结果由输出层神经元输出。

（换句话说，输入层神经元仅接受输入，不进行函数处理。）

（a）图通常称为“两层神经网络”，为避免歧义，将其命名为单隐层网络（只需包含隐层，即可称为多层网络）。

神经网络的学习过程，就是根据训练数据来调整神经元之间的“连接权”以及每个功能神经元的阈值，换言之，神经网络学到的东西，蕴含在连接权和阈值中。

二、标准误差逆传播算法（标准BP算法）

BP算法亦称为“反向传播算法”。

通常说的“BP网络”一般是指BP算法训练的多层前馈神经网络。

下面讲解什么是BP算法？

BP算法的基本思想是：

（1）正向传播FP(求损失)：在这个过程中，我们根据样本的输入，给定的初始化权重值W和偏置项的值b，计算最终输出值以及输出值与实际值之间的损失值。如果损失值不在给定的范围内则进行反向传播的过程，否则停止W,b的更新。

（2）反向传播BP(回传误差)：将输出以某种形式通过隐层向输入层逐层反传，并将误差分摊给各层的所有单元，从而获得各层单元的误差信号。此误差信号即作为修正各单元权值的依据。

以三层感知机结构为例，说明BP算法的一般计算方法

给定训练集 $D=\{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\}, x_i \in \mathbb{R}^d,y_i \in \mathbb{R}^l$

即输入示例由d个属性描述，输出l维实值向量。

为了便于讨论，给出下图：

上图给出了一个拥有d个输入神经元，l个输出神经元、q个隐层神经元的多层前馈神经网络。

输出层第j个神经元的阈值用 $\theta_j$ 表示，隐层第h个神经元的阈值用 $\gamma_h$ 表示。输入层第i个神经元与隐层第h个神经元之间的连接权用 $v_{ih}$ 表示。隐层第h个神经元与输出层第j个神经元之间的连接权用 $w_{hj}$ 表示。

记隐层第h个神经元接收到的输入为 $\alpha_h = \sum_{i=1}^{d} v_{ih}x_i$

输出层第j个神经元接收到的输入为 $\beta_j = \sum_{h=1}^{q} w_{hj} b_h$ ,其中 $b_{h}$ 为隐层第h个神经元的输出。

假设隐层和输出层都是用sigmoid函数。

对训练例 $(x_k,y_k)$ ，假定神经网络的输出为 $\hat{y}_k=(\hat{y_1}^k,\hat{y_2}^k,...,\hat{y_l}^k)$ ,即

$\hat{y_j}^k=f(\beta_j-\theta_j)$

则网络在 $(x_k,y_k)$ 上的均方误差为：

$E_k=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{l}(\hat{y_j}^k-y_j^k)^2$

网络中需要确定的参数为：输入层到隐层的 $d \times q$ 个权值，隐层到输出层的 $q \times l$ 个权值，q个隐层神经元的阈值，l个输出层神经元的阈值。一共是 $(d+l+1) \times q +l$ 个参数。

BP是一个迭代学习算法，在迭代的每一轮中采用广义的感知机学习规则对参数进行更新估计。

以隐层到输出层的连接权 $w_{hj}$ 为例来进行推导。

BP算法基于梯度下降策略，以目标的负梯度方向对参数进行调整，给定学习率η，有：

$\bigtriangleup w_{hj} = - \eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}$

注意到 $w_{hj}$ 先影响到第j个输出层神经元的输入值 $\beta_j$ ，再影响到其输出值 $\hat{y}_j^k$ ，然后影响到 $E_k$ ,

根据链式法则有：

$\frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}} = \frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} \cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}}$

因为 $\beta_j = \sum_{h=1}^{q} w_{hj} b_h$ ，所以：

$\frac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}} = b_h$

Sigmoid函数有一个很好的性质为：

$f^{'}(x) =f(x)(1-f(x))$

因为： $\hat{y_j}^k=f(\beta_j-\theta_j)$ ，所以 $\frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} = f^{'}(\beta_j-\theta_j)$

因为： $E_k=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{l}(\hat{y_j}^k-y_j^k)^2$ ，所以 $\frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} = \hat{y}_j^k-y_j^k$ ,故：

$g_j = - \frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} \cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} \\=-(\hat{y}_j^k-y_j^k) f^{'}(\beta_j-\theta_j) \\=-(\hat{y}_j^k-y_j^k)\hat{y}_j^k(1-\hat{y}_j^k) \\=\hat{y}_j^k(1-\hat{y}_j^k)(y_j^k-\hat{y}_j^k)$ (输出层神经元的梯度项)

所以， $\bigtriangleup w_{hj} = \eta g_j b_h$

类似地，注意到 $\theta_j$ 首先影响到输出值 $\hat{y}_j^k$ ，再影响到 $E_k$ ，所以有：

$\bigtriangleup \theta_j = - \eta \frac{\partial E_k}{\partial \theta_j} \\ = -\eta (\frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k} \cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \theta_j}) \\= - \eta(-(\hat{y}_j^k-y_j^k) \hat{y}_j^k(1-\hat{y}_j^k)) \\=-\eta \hat{y}_j^k (1-\hat{y}_j^k)(y_j^k-\hat{y}_j^k) \\=-\eta g_j$

类似地，隐层神经元的梯度项 $e_h$ 的求解为：

首先注意到 $v_{ih}$ 首先影响到第h个隐层神经元的输入值 $\alpha_h$ ,在影响到隐层神经元的输出值 $b_h$ ,最后影响到 $E_k$ ,所以有：

$\bigtriangleup v_{ih} = -\eta \frac{\partial E_k}{\partial v_{ih}} \\= -\eta(\frac{\partial E_k}{\partial b_h} \cdot \frac{\partial b_{h}}{\partial \alpha_h} \cdot \frac{\partial \alpha_h}{\partial v_{ih}})$

其中，由于 $b_h$ 是隐层神经元的输出，则 $b_h = f(\alpha_h-\gamma_h)$ ,那么

$e_h = -\frac{\partial E_k}{\partial b_h} \cdot \frac{\partial b_h}{\partial \alpha_h} \\= - \sum_{j=1}^{l} \frac{\partial E_k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial b_h} f^{'}(\alpha_h- \gamma_h) \\= -\sum_{j=1}^{l} \frac{\partial E_k}{\partial \hat{y}_j^k }\cdot \frac{\partial \hat{y}_j^k}{\partial \beta_j} \cdot w_{hj} \cdot f^{'}(\alpha_h- \gamma_h) \\= \sum_{j=1}^{l} w_{hj} g_j f^{'}(\alpha_h- \gamma_h) \\= b_h(1-b_h) \sum_{j=1}^{l} w_{hj} g_j$ （隐层神经元的梯度项）

所以， $\bigtriangleup v_{ih} = - \eta \frac{\partial E_{k}}{\partial v_{ih}} \\= \eta e_h \cdot \frac{\partial \alpha_h}{\partial v_{ih}} \\=\eta e_h x_i$

类似地，注意到 $\gamma_h$ 首先影响到输出值 $b_h$ ，再影响到 $E_k$ ，所以有：

$\bigtriangleup \gamma_h = - \eta \frac{\partial E_k}{\partial \gamma_h} \\= - \eta (\frac{\partial E_k}{\partial b_h} \cdot \frac{\partial b_h}{\partial \gamma_h}) \\=-\eta \cdot \frac{\partial E_k}{\partial b_h} \cdot (-f^{'}(\alpha_h-\gamma_h)) \\=-\eta \cdot (\sum_{j=1}^{l} \frac{\partial E_k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial b_h}) \cdot (-f^{'}(\alpha_h-\gamma_h)) \\= \eta \sum_{j=1}^{l} \frac{\partial E_k}{\partial \beta_j} \cdot \frac{\partial \beta_j}{\partial b_h}f^{'}(\alpha_h-\gamma_h) \\=-\eta e_h$

经过推导，得出（标准）BP算法的步骤为：

输入：训练集 $D=\{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\}, x_i \in \mathbb{R}^d,y_i \in \mathbb{R}^l$ ；学习率 $\eta$

过程：

在（0，1）范围内随机初始化网络中所有连接权和阈值

repeat:

for all( $x_k,y_k$ ) $\in D do$

根据当前参数和计算当前样本的输出 $\hat{y}_j^k$ ;

计算输出层神经元的梯度项 $g_j$ ;

计算隐层神经元的梯度项 $e_h$ ;

更新连接权 $w_{hj},v_{ih}$ 与阈值 $\theta_j, \gamma_h$

end for

until 达到停止条件

输出：连接权与阈值确定的多层前馈神经网络

需要注意的是，BP算法的目标是要最小化训练集D上的累积误差

$E=\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} E_k$

但是从我们上面的BP算法过程来看，我们每次针对一个训练样例更新连接权和阈值，也就是说，上述算法的更新规则是基于单个的Ek推导而得。

如果类似地推导出基于累积误差最小化得更新规则，就得到了累积误差逆传播算法。他在读取整个数据集D一遍后，才对参数进行更新

由于BP神经网络强大得表示能力，所以其经常遭遇过拟合。即训练误差持续降低，但测试误差却可能上升。有两种策略缓解BP网络得过拟合：

（1）早停：将数据分成训练集和测试集，训练集用来计算梯度、更新连接权和阈值，验证集用来估计误差，若训练集误差降低，但验证集误差升高，则停止训练，同时返回最小验证集误差的连接权和阈值。

（2）正则化：在误差目标函数中增加一个用于描述网络复杂度的部分，例如连接权和阈值的平方和。仍令Ek表示第k个训练样例上的误差，wi表示连接权和阈值，则误差目标函数为：

$E=\lambda \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} E_k + (1-\lambda) \sum_{i} w_i^2$

其中， $\lambda$ 在（0，1）中，用于对经验误差与网络复杂度这两项进行折中，常通过交叉验证法估计。

亚马逊云科技技术品牌专区

更多推荐

企业物联网平台如何选择？

亚马逊云科技技术品牌专区

STM32节点移植lorawan协议连接腾讯云物联网开发平台（IoT Explorer）

STM32移植lorawan协议连接腾讯云物联网开发平台（IoT Explorer）前言前言在移植协议之前，先给大家科普一下Lora 和 lorawan 的区别。LoRa 是LPWAN通信技术中的一种，是美国Semtech公司采用和推广的一种基于扩频技术的超远距离无线传输方案。这一方案改变了以往关于传输距离与功耗的折衷考虑方式为用户提供一种简单的能实现远距离、长电池寿命、大容量的系统，进而扩...

亚马逊云科技技术品牌专区

从华为的MQTT到TdEngineRPC，解读物联网时代的分布式

今天中秋节，笔者首先祝各位读者们中秋快乐，之所以在今天这个团圆节来谈分布式的话题，就是要聊聊物联网是如何通过MQTT连接各类终端，如何通过RPC整合各种数据的。下面就通过代码+动图的方式来解读一下华为LiteOS的MQTT与TD的RPC。MQTT协议MQTT是一个客户机服务器发布/订阅消息传输协议。它重量轻、开放、简单、易于实现。这些特性使其非常适合在物联网的低带宽、...