向量的点乘、叉乘和混合积（三重积）

安谦柔

25508人浏览 · 2022-01-07 00:10:14

安谦柔 · 2022-01-07 00:10:14 发布

一、三重矢积公式

设 $\vec{\mathbf{a}}$ 、 $\vec{\mathbf{b}}$ 、 $\vec{\mathbf{c}}$ 为三个向量，三重矢积公式

$\left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}\right )\times \vec{\mathbf{c}}=\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{b}}-\left ( \vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{a}}$

$\vec{\mathbf{a}}\times \left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )=\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}} \right )\vec{\mathbf{b}}-\left ( \vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}} \right )\vec{\mathbf{c}}$

上述的两个公式也称为拉格朗日公式。

三重矢积的公式有三个特性：

1) 两个分项都带有三个向量（ $\vec{\mathbf{a}}$ 、 $\vec{\mathbf{b}}$ 、 $\vec{\mathbf{c}}$ ）；

2) 三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合；

3) 中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量 $\vec{\mathbf{b}}$ ）。

二、标量三重积

$\left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}} \right )\cdot \vec{\mathbf{c}}=\vec{\mathbf{a}}\cdot \left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )$

特别的： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \left ( \vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{c}}\right )=0$

三、叉乘

3.1 叉乘的性质

逆交换律： $\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}=-\left ( \vec{\mathbf{b}}\times \vec{\mathbf{a}} \right )$

任意向量与自身的叉乘等于零向量： $\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{a}}=\vec{\mathbf{0}}$

分配律： $\vec{\mathbf{a}}\times \left (\vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{c}} \right )=\vec{\mathbf{a}}\times \vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{a}}\times\vec{\mathbf{c}}$

3.2 在matlab中的表示

C = cross(A,B)

四、点乘

4.1 性质

交换律： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=\vec{\mathbf{b}}\cdot \vec{\mathbf{a}}$

分配律： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \left (\vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{c}} \right )=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}+\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{c}}$