【C++】第十七节—二叉搜索树(概念+性能分析+增删查+实现+使用场景)
本文系统介绍了二叉搜索树（BST）的概念、实现和应用。主要内容包括：二叉搜索树的定义（左子树值≤根≤右子树）、基本操作（查找、插入、删除）的实现原理和代码，其中删除操作分为3种情况处理。文章分析了BST的性能（最优O(logN)，最差O(N)）及其局限性，指出需要平衡二叉树的改进。最后介绍了BST的两种应用场景：纯key模型（如车牌识别）和key-value模型（如字典翻译、词频统计），并给出了对
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好久不见，我是云边有个稻草人
目录
正文开始——
一、二叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：
- 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
二、二叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其高度为： N
所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
- 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。
这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
三、二叉搜索树的插入
插⼊的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值比当前结点⼤往右走，插⼊值比当前结点⼩往左走，找到空位置，插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
SearchBinaryTree.h
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{
}
};
//class SearchBinaryTree
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node * root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};test.cpp
#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>
int main()
{
vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
return 0;
}四、⼆叉搜索树的查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x比根值小则往左边走查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。
【只有一个3】
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}【有多个3】
查找3，要求查找中序的第一个3。具体后面会讲
五、⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
下面代码的实现思路：分为3种情况（将上面的情况1归为情况2或者是情况3） ，分为情况2，情况3，情况4来进行删除结点
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了，删除结点
//情况2
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//情况3
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//情况4
else
{
// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}六、二叉搜索树的实现代码
SearchBinaryTree.h
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{
}
};
//class SearchBinaryTree
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了，删除结点
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node * root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};test.cpp
#include"SearchBinaryTree.h"
#include<vector>
int main()
{
vector<int> a = { 0, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
//if (t.Find(300))
//{
// cout << "找到了" << endl;
//}
//else
//{
// cout << "没找到" << endl;
//}
t.Erase(8);
t.InOrder();
t.Erase(14);
t.InOrder();
t.Erase(1);
t.InOrder();
for (auto e : a)
{
t.Erase(e);
t.InOrder();
}
return 0;
}七、二叉搜索树key和key/value使用场景
7.1 key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
7.2 key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，车辆离场。 场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现
.h
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//删除
if (cur->_left == nullptr)
{
//if (parent == nullptr)
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// 父亲指向我的右
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 父亲指向我的左
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 找右子树最小节点(最左)替代我的位置
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " " << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}.cpp
int main()
{
string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (auto& e : arr)
{
//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);
auto ret = countTree.Find(e);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(e, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}完——
快长大
至此结束——
我是云边有个稻草人
期待与你的下一次相遇......
纵情码海钱塘涌，杭州开发者创新动！ 属于杭州的开发者社区！致力于为杭州地区的开发者提供学习、合作和成长的机会；同时也为企业交流招聘提供舞台！
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