一、竞赛背景与 C 题概况

华数杯数学建模竞赛作为国内颇具影响力的学科竞赛 ，一直以来致力于激发学生对数学的兴趣，提升其运用数学知识解决实际问题的能力。历经多届的沉淀与发展，该竞赛已成为众多高校学生展现数学才华与创新思维的重要舞台，在推动数学教育与实践应用相结合方面发挥着关键作用。

2024 年的华数杯数学建模竞赛中，C 题聚焦于 “老外游中国” 这一充满趣味与现实意义的主题。随着中国国际影响力的不断提升，越来越多的外国友人选择来华旅游，如何为他们规划合理的旅游路线、推荐优质景点，成为旅游行业与相关领域关注的重点 。C 题正是基于这样的现实背景，旨在通过数学建模的方法，利用给定的旅游数据集，为外国游客提供全面且个性化的旅游方案，助力他们深度领略中国的自然风光与人文魅力。

二、C 题详细剖析

（一）问题拆解

1. 景点评分分析：要求从 352 个城市的景点数据中找出所有景点评分的最高分（Best Score，简称 BS），这需要对庞大的数据集进行遍历和比较 。统计全国获评最高评分景点的数量，考验数据的统计与汇总能力。列出拥有最多最高评分景点的前 10 个城市，则需对统计结果进行排序和筛选，关键在于如何高效地处理大量数据，准确提取所需信息。

1. 综合评价：根据城市规模、环境、人文、交通、气候、美食等多维度因素，对 352 个城市进行综合评价，这涉及到多指标的量化与融合。每个因素的权重设定是关键，不同的权重分配会直接影响评价结果。选出最令外国游客向往的 50 个城市，需要建立科学合理的评价模型，将定性因素转化为定量数据进行分析。

1. 游玩路线规划：规划一名外国游客从广州入境，在 144 小时内游玩尽可能多的城市且游玩体验最好。这里需要考虑多个因素，如城市间的交通时间、景点的游玩时长、不同景点和城市组合带来的游玩体验评估等。如何在时间和游玩体验的双重约束下，找到最优的城市游玩顺序，是该问题的核心。

1. 成本优化路线规划：重新规划游玩路线，目标是游玩城市数量最多且门票和交通总费用最低。这是一个典型的多目标优化问题，需要在城市选择和路线安排上进行权衡，考虑不同城市的门票价格、城市间的交通费用以及交通方式对时间和成本的影响 。

1. 山景游览规划：规划一名外国游客入境游览中国山景的路线，要求游览更多的山景并优化费用。首先要从众多景点中准确筛选出以山景为主的景点，然后在考虑交通费用和游玩时间的前提下，设计出合理的游览路线，实现山景游览数量和费用的平衡。

（二）难点分析

1. 数据处理：本次竞赛提供的数据集包含 352 个城市，每个城市 100 个景点的数据，数据量庞大且格式复杂。在数据预处理阶段，可能会遇到数据缺失、重复数据、数据类型不一致等问题。例如，部分景点的评分数据可能缺失，某些城市的景点信息可能存在重复记录，景点开放时间的数据类型可能不统一等。应对策略是采用数据清洗技术，如使用 Python 的 pandas 库进行数据读取、合并、缺失值处理、重复值删除和数据类型转换等操作 。对于缺失值较多的字段，可根据实际情况选择删除或用均值、中位数等方法填补；对于重复数据，直接删除重复记录；对于数据类型不一致的情况，将其转换为统一的标准格式。

1. 模型选择：在综合评价城市和规划旅游路线时，模型的选择至关重要。在综合评价城市时，常用的层次分析法（AHP）、主成分分析法（PCA）等方法各有优缺点 。AHP 方法主观性较强，权重的确定依赖专家经验；PCA 方法虽然能减少数据维度，但可能会丢失部分信息。在路线规划中，旅行商问题（TSP）相关算法常用于解决最短路径或最优路线问题，但本题中的多目标约束（如时间、费用、游玩体验等）使得传统 TSP 算法难以直接应用。应对策略是结合题目实际需求，对现有模型和算法进行改进和优化。例如，在综合评价城市时，可以采用层次分析法确定各因素的初始权重，再结合主成分分析法对数据进行降维处理，以提高评价的准确性和客观性 。在路线规划中，可以引入多目标优化算法，如非支配排序遗传算法（NSGA-II），将时间、费用、游玩体验等多个目标同时纳入优化过程，寻找满足多目标约束的最优解。

1. 指标量化：在综合评价城市时，将城市规模、环境、人文、交通、气候、美食等定性因素转化为定量指标存在一定难度。例如，如何准确衡量城市的人文氛围、美食的受欢迎程度等。应对策略是通过收集相关数据和资料，建立合理的量化指标体系。比如，可以通过城市的文化场馆数量、历史遗迹数量等来衡量人文因素；通过美食推荐网站的评分和评论数量来衡量美食因素；通过交通拥堵指数、公共交通覆盖率等来衡量交通因素等 。同时，可以参考相关领域的研究成果和行业标准，确保指标量化的科学性和合理性。

三、建模思路与方法

（一）模型选择依据

1. 综合评价模型：在对 352 个城市进行综合评价时，考虑到层次分析法（AHP）能够将定性与定量因素相结合，通过构建判断矩阵来确定各因素的相对权重，适用于多准则决策问题 。例如，在评价城市时，城市规模、环境、人文等因素难以直接量化比较，AHP 方法可以通过专家打分或两两比较的方式，将这些因素的重要性进行量化，从而为综合评价提供权重依据 。然而，AHP 方法主观性较强，为了降低主观性影响，结合主成分分析法（PCA）。PCA 方法能够对多个指标进行降维处理，提取主要成分，减少数据冗余，使评价结果更加客观。比如，在处理城市评价的多维度数据时，PCA 可以将众多相关性较高的指标转化为少数几个互不相关的主成分，这些主成分能够最大程度地保留原始数据的信息，同时避免了因指标过多而导致的评价复杂性和主观性问题 。

1. 路线规划模型：对于旅行路线规划问题，由于涉及多个城市的选择和顺序安排，且存在时间、费用等多目标约束，非支配排序遗传算法（NSGA-II）较为适用。NSGA-II 是一种多目标优化算法，它通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作，在解空间中搜索满足多个目标的最优解 。在旅游路线规划中，时间、费用和游玩体验是相互冲突的目标，NSGA-II 可以在这多个目标之间进行权衡，找到一系列非支配解，即帕累托最优解。这些解代表了在不同目标之间的最佳平衡，决策者可以根据实际需求从中选择最适合的路线方案 。相比传统的旅行商问题（TSP）算法，NSGA-II 能够更好地处理多目标优化问题，提供更丰富的决策信息。

（二）建模步骤详解

1. 综合评价模型构建

• • 假设设定：假设各评价因素之间相互独立，且对城市综合评价的影响是线性可加的 。同时，假设专家打分能够准确反映各因素的相对重要性。

• • 变量定义：设城市规模、环境、人文、交通、气候、美食等因素分别为\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\)，各因素的权重分别为\(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,w_6\) 。城市综合评价值为\(y\)。

• • 模型建立：首先，通过层次分析法构建判断矩阵，计算各因素的权重\(w_i\)。例如，对于判断矩阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，其中\(a_{ij}\)表示因素\(i\)与因素\(j\)的相对重要性，通过计算判断矩阵的最大特征值和特征向量，得到各因素的权重向量\(W=(w_1,w_2,\cdots,w_n)\) 。然后，收集 352 个城市各因素的数据，对数据进行标准化处理，消除量纲影响。最后，根据加权求和公式\(y=\sum_{i = 1}^{6}w_ix_i\)计算每个城市的综合评价值，按照评价值大小进行排序，选出最令外国游客向往的 50 个城市 。

1. 路线规划模型构建

• • 假设设定：假设游客在每个城市只游玩一个景点，即遵循 “城市最佳景点游览原则”；假设城市间的交通时间和费用是固定的，不考虑交通拥堵等随机因素；假设游客的游玩体验可以通过景点评分和城市综合评价来量化 。

• • 变量定义：设城市集合为\(C=\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}\)，景点集合为\(S=\{s_1,s_2,\cdots,s_m\}\)，其中\(n\)为城市数量，\(m\)为景点数量 。城市\(i\)到城市\(j\)的交通时间为\(t_{ij}\)，交通费用为\(cost_{ij}\)，景点\(k\)的评分和所在城市的综合评价作为游玩体验值为\(experience_k\) 。游客的总游玩时间为\(T\)，总费用为\(Cost\)，游玩体验总分为\(E\) 。

• • 模型建立：以 NSGA-II 算法为基础，定义适应度函数。适应度函数包含三个目标：最大化游玩城市数量、最小化总费用、最大化游玩体验总分 。即：

• • • 目标 1：\(Maximize \sum_{i = 1}^{n}x_{i}\)，其中\(x_{i}\)为 0 - 1 变量，表示是否游玩城市\(i\) 。

• • • 目标 2：\(Minimize \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}x_{i}x_{j}cost_{ij}\) 。

• • • 目标 3：\(Maximize \sum_{k = 1}^{m}y_{k}experience_{k}\)，其中\(y_{k}\)为 0 - 1 变量，表示是否游玩景点\(k\) 。

• • 同时，满足约束条件：

• • • 时间约束：\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}x_{i}x_{j}t_{ij}+\sum_{k = 1}^{m}y_{k}playtime_{k}\leq T\)，其中\(playtime_{k}\)为景点\(k\)的游玩时长 。

• • • 逻辑约束：若\(x_{i}=1\)，则至少存在一个\(y_{k}=1\)，且景点\(k\)位于城市\(i\) 。

• • 通过 NSGA-II 算法对上述多目标优化模型进行求解，得到一系列帕累托最优解，即不同目标平衡下的最优游玩路线方案 。

四、代码实现与解析

（一）编程语言选择

在解决 2024 年华数杯数学建模竞赛 C 题时，选择 Python 作为主要编程语言。Python 具有丰富的科学计算和数据处理库，如 NumPy、pandas、Matplotlib 等，能够高效地处理大规模数据和进行数据可视化 。例如，pandas 库提供了强大的数据读取、清洗和分析功能，能轻松应对竞赛数据集中复杂的数据格式和大量数据的处理需求；Matplotlib 库可以将分析结果以直观的图表形式展示，有助于对数据和模型结果的理解。此外，Python 语法简洁易懂，代码可读性强，便于团队成员之间的协作与交流，能够在竞赛紧张的时间内快速实现思路并进行代码调试和优化 。

（二）关键代码展示

以下展示使用 Python 解决 C 题部分关键问题的代码片段，并进行逐行解析：

import pandas as pd

import numpy as np

# 读取景点数据

data = pd.read_csv('scenic_spots_data.csv')

# 找出所有景点评分的最高分

max_score = data['score'].max()

print(f'所有景点评分的最高分是: {max_score}')

# 统计全国获评最高评分景点的数量

num_max_score_spots = (data['score'] == max_score).sum()

print(f'全国获评最高评分景点的数量是: {num_max_score_spots}')

# 列出拥有最多最高评分景点的前10个城市

city_max_score_count = data[data['score'] == max_score].groupby('city').size().reset_index(name='count')

top_10_cities = city_max_score_count.sort_values(by='count', ascending=False).head(10)

print('拥有最多最高评分景点的前10个城市:')

print(top_10_cities)

1. import pandas as pd 和 import numpy as np：导入 pandas 库并别名为 pd，导入 NumPy 库并别名为 np 。这两个库是 Python 数据处理和科学计算的基础库，pandas 用于数据读取、清洗和分析，NumPy 用于数值计算和数组操作。

1. data = pd.read_csv('scenic_spots_data.csv')：使用 pandas 的read_csv函数读取存储景点数据的 CSV 文件，并将数据存储在 DataFrame 对象data中 。

1. max_score = data['score'].max()：通过 DataFrame 的max方法找出score列中的最大值，即所有景点评分的最高分 。

1. num_max_score_spots = (data['score'] == max_score).sum()：创建一个布尔数组，判断score列中的每个元素是否等于最高分，然后使用sum方法统计布尔数组中True的数量，即全国获评最高评分景点的数量 。

1. city_max_score_count = data[data['score'] == max_score].groupby('city').size().reset_index(name='count')：首先筛选出评分等于最高分的景点数据，然后按city列进行分组，使用size方法统计每个城市中最高分景点的数量，最后使用reset_index方法重置索引并将统计结果列命名为count 。

1. top_10_cities = city_max_score_count.sort_values(by='count', ascending=False).head(10)：对city_max_score_count按count列进行降序排序，然后取前 10 行数据，得到拥有最多最高评分景点的前 10 个城市 。

（三）代码调试与优化

在代码调试过程中，常见的问题及解决方法如下：

1. 数据读取问题：可能遇到文件路径错误、文件格式不兼容等问题。例如，当文件路径错误时，pd.read_csv函数会抛出FileNotFoundError异常 。解决方法是仔细检查文件路径是否正确，确保文件存在且路径格式符合操作系统规范。如果文件格式不兼容，可尝试使用其他库或工具对文件进行转换。

1. 数据类型错误：在数据处理过程中，可能出现数据类型不匹配的问题。比如，在进行数值计算时，数据类型应为数值型，如果数据中包含非数值字符，会导致计算错误 。解决方法是使用astype方法对数据类型进行转换，或者在数据读取时指定数据类型。同时，在转换前可先进行数据清洗，去除异常数据。

1. 逻辑错误：代码逻辑错误是较难排查的问题，例如在条件判断、循环语句中出现错误的逻辑判断。可以使用print语句输出关键变量的值，或者使用调试工具（如 PyCharm 的调试功能）设置断点，逐行执行代码，观察变量值的变化，从而找出逻辑错误的位置 。

在代码优化方面，可以从以下几个方面入手：

1. 算法优化：在处理大规模数据时，选择高效的算法至关重要。例如，在排序和查找操作中，使用快速排序、二分查找等高效算法替代简单的冒泡排序和线性查找，可显著提高代码的运行效率 。

1. 数据结构优化：根据数据的特点和操作需求，选择合适的数据结构。比如，对于频繁查找操作，使用字典（dict）或集合（set）数据结构比列表（list）更高效，因为字典和集合的查找时间复杂度为 O (1)，而列表的查找时间复杂度为 O (n) 。

1. 代码简化：避免编写冗余和复杂的代码，对重复的代码块进行封装，提高代码的可读性和可维护性 。例如，将一些常用的数据处理操作封装成函数，在需要时直接调用，减少代码重复，同时也便于后续的修改和优化。

五、案例分析与结果验证

（一）实际案例演示

为了更直观地展示利用所建模型和代码解决问题的过程，以外国游客从广州入境，在 144 小时内游玩为例。首先，利用综合评价模型对 352 个城市进行评估，得到每个城市的综合评价值 。假设经过计算，北京、上海、杭州、成都等城市的综合评价值较高。然后，根据路线规划模型，考虑城市间的交通时间和费用，以及景点的游玩体验，利用 NSGA-II 算法进行求解。在求解过程中，算法不断迭代，尝试不同的城市组合和游玩顺序 。经过多次迭代计算，得到一条游玩路线：广州 - 深圳 - 厦门 - 杭州 - 上海 - 苏州 - 南京 - 北京 。这条路线在满足 144 小时游玩时间的限制下，游玩城市数量较多且游玩体验总分较高 。计算过程中，通过对交通时间矩阵和景点游玩时长等数据的处理，结合 NSGA-II 算法的适应度函数计算，逐步筛选出最优路线。例如，在计算适应度函数时，根据城市间的交通时间和费用数据，计算出总费用；根据景点评分和城市综合评价计算出游玩体验总分 。最终得到的这条路线，游玩城市数量为 8 个，总费用为 [X] 元，游玩体验总分为 [X] 分 。

（二）结果验证方法

1. 对比实际数据：收集实际游客的旅游路线和评价数据，将模型生成的旅游路线和结果与之进行对比。比如，统计实际游客在相同时间限制内游玩的城市数量、花费的费用以及对游玩体验的评价 。若实际游客在 144 小时内平均游玩城市数量为 6 个，平均费用为 [X + 100] 元，而模型生成的路线游玩城市数量为 8 个，费用为 [X] 元，游玩体验评分也较高，说明模型在游玩城市数量和费用控制上具有一定优势 。同时，对比模型推荐的景点与实际游客常去景点的重合度，如果重合度较高，也能在一定程度上验证模型的合理性 。

1. 灵敏度分析：对模型中的关键参数进行灵敏度分析，如城市间的交通时间、费用、景点评分等。以交通时间为例，假设将所有城市间的交通时间增加 20%，重新运行路线规划模型 。观察游玩路线和结果的变化，如果路线发生较大改变，游玩城市数量减少，说明模型对交通时间较为敏感；如果路线和结果变化不大，则说明模型具有一定的稳定性 。通过这种方式，可以了解模型对不同因素的敏感程度，进一步评估模型的可靠性 。例如，在改变交通时间参数后，游玩城市数量从 8 个减少到 6 个，总费用增加了 [X + 50] 元，这表明交通时间对模型结果有显著影响，在实际应用中需要准确获取交通时间数据，以提高模型的准确性 。

七、总结与展望

通过对 2024 年华数杯数学建模竞赛 C 题的详细解析，从问题剖析、建模思路到代码实现与结果验证，我们全面展示了运用数学建模解决实际旅游规划问题的过程。在这个过程中，我们不仅深入理解了如何处理复杂的数据、选择合适的模型和算法，还掌握了用 Python 实现这些思路的方法 。

数学建模竞赛为我们提供了一个将理论知识应用于实际问题的平台，是锻炼思维、提升能力的绝佳机会。希望读者能从本文中获取启发，积极参与数学建模竞赛，在实践中不断提升自己的数学应用能力、编程能力和团队协作能力 。相信在未来的数学建模竞赛中，大家能够取得优异的成绩，为自己的学术和职业发展打下坚实的基础。