【C++】二叉搜索树深度剖析——掌握key/key_value两类二叉搜索树
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一、二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值multimap/multiset支持插入相等值
二、二叉搜索树性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：logN
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(logN）
级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
三、二叉搜索树的实现
1. 基本结构
二叉搜索树要定义两个类：节点和树
//节点类
template<typename K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr)
{}
};
//树类
template<typename K>
class BSTree
{
using Node = BSTNode<K>;
public:
BSTree():_root(nullptr){}
private:
Node* _root;
}
2. 插入
插入实现的逻辑很简单：
- 判断树是否为空，若空直接新建节点赋值给_root，若不为空跳过此步
- 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
- 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，⼀会往左走）
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur=_root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false;
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
return true;
}
else if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
return true;
}
return false;
}
3. 查找
- 从根开始查找key，若节点的_key比key大，就往左走；反之则往右走
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序遍历的第⼀个x。
以下是不支持插入相等值的：
Node* find(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return nullptr;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return cur;
}
return nullptr;
}
4. 删除
删除的逻辑比较复杂，首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩子均为空
- 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
- 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
- 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
解决方案：
5. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
6. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
7. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
9. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找 N 左子树的值最大结点R(最右结点) 或者 N 右子树的值最小结点R(最左结点) 替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。然后直接删除所找到的节点。注意：不要使用递归去删除，因为替换之后，要被删除的节点不符合二叉搜索树的特征，无法找到该节点
bool erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return false;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
//先查找节点
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//找到了，执行删除
//如果要删的是根节点：parent==cur
if (parent == cur)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
return true;
}
//如果左右都不为空，情况4
if (cur->_left && cur->_right)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
}
//左右至少有一个为空，情况1,2,3
else
{
if (parent->_left == cur)
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_left = cur->_right;
else parent->_left = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_right = cur->_right;
else parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
return true;
}
}
return false;
}
5. 完整代码
//节点类
template<typename K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr)
{}
};
//树类
template<typename K>
class BSTree
{
using Node = BSTNode<K>;
public:
BSTree():_root(nullptr){}
BSTree(const BSTree<K>& bst) { _root = Copy(bst); }
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node* _root)
{
if (_root == nullptr) return;
Destroy(_root->_left);
Destroy(_root->_right);
delete _root;
}
BSTree<K>& operator=(const BSTree<K>& bst)
{
std::swap(_root, bst._root);
return *this;
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur=_root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false;
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
return true;
}
else if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
return true;
}
return false;
}
Node* find(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return nullptr;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return cur;
}
return nullptr;
}
bool erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return false;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
//先查找节点
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//找到了，执行删除
//如果要删的是根节点：parent==cur
if (parent == cur)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
return true;
}
//如果左右都不为空，情况4
if (cur->_left && cur->_right)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
}
//左右至少有一个为空，情况1,2,3
else
{
if (parent->_left == cur)
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_left = cur->_right;
else parent->_left = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_right = cur->_right;
else parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root)
{
if (_root == nullptr) return;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << ' ';
_InOrder(_root->_right);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (_root == nullptr) return;
Node* newroot = new Node(root->_key);
newroot->_left = Copy(root->_left);
newroot->_right = Copy(root->_right);
return newroot;
}
Node* _root;
};
四、二叉搜索树key和key/value的应用
1. key应用场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查⼀篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
2. key/value应用场景
每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查停车库合找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
key-value的代码参考：
template<typename K,typename V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K,V>* _left;
BSTNode<K,V>* _right;
BSTNode(const K& key,const V& value) :_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr)
{}
};
template<typename K,typename V>
class BSTree
{
using Node = BSTNode<K,V>;
public:
BSTree() :_root(nullptr) {}
BSTree(const BSTree<K,V>& bst) { _root = Copy(bst); }
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node* _root)
{
if (_root == nullptr) return;
Destroy(_root->_left);
Destroy(_root->_right);
delete _root;
}
BSTree<K, V>& operator=(const BSTree<K, V>& bst)
{
swap(_root, bst._root);
return *this;
}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,value);
return true;
}
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return false;
}
cur = new Node(key,value);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
return true;
}
else if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
return true;
}
return false;
}
Node* find(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return nullptr;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else return cur;
}
return nullptr;
}
bool erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr) return false;
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//删除
if (parent == cur)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
return true;
}
if (cur->_left && cur->_right)
{
Node* keynodeparent = cur;
Node* keynode = cur->_left;
while (keynode->_right)
{
keynodeparent = keynode;
keynode = keynode->_right;
}
cur->_key = keynode->_key;
if (keynodeparent->_left == keynode) keynodeparent->_left = nullptr;
else keynodeparent->_right = nullptr;
delete keynode;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_left = cur->_right;
else parent->_left = cur->_left;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr) parent->_right = cur->_right;
else parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* _root)
{
if (_root == nullptr) return;
_InOrder(_root->_left);
cout << _root->_key << ' ';
_InOrder(_root->_right);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (_root == nullptr) return;
Node* newroot = new Node(root->_key, root->_value);
newroot->_left = Copy(root->_left);
newroot->_right = Copy(root->_right);
return newroot;
}
Node* _root;
};
具体代码实现可以看：
gitee——二叉搜索树
github——二叉搜索树
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