背包问题——01背包|完全背包
01背包你真的都会吗?各位佬们还不进来看看？
文章共7,155字 · 阅读需要大约24分钟
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前言&背包问题的历史
背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题（NP完全问题，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P）。
背包问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。
背包问题已经研究了一个多世纪，早期的作品可追溯到1897年 数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 ，并指的是包装你最有价值或有用的物品而不会超载你的行李的常见问题。
可以看到上面的图，背包问题还是很有很多种,但其实我们非竞赛人员只需要学会01背包、完全背包，最多再加上点多重背包。博主只讨论01背包和完全背包问题。
我们都知道背包问题是动态规划经典问题，但为什么不可以使用贪心思维来解决呢？我举个简单例子。
如果上面我们使用贪心思想总是去装 价值 / 物品大小 大的，即最多装价值为的16的物品，还剩余容量为3，无法再装下其他物品，这也是为什么不能用贪心去做，无法最大化的利用背包空间。
01背包
1、题目
一共有N件物品，第i（i从1开始）件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。在总重量不超过背包承载上限W的情况下，求能够装入背包的最大价值是多少？
2、暴力解01背包
说起背包就会想到dp，使用动态规划的方法写，其实这也可以使用回溯算法暴力求解，大家不常用回溯算法暴力求解是因为每件物品都存在装入和不装入两种情况，总的时间复杂度是O(2ᴺ)， 这是不可取的。但我们也可以了解了解怎么暴力求解背包问题。
还是使用以上面的例子试一试：
5 10
2 5 4 2 3
6 3 5 4 6Ⅰ、代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int SetCapacity=0;//背包的初始容量
static int MaxCapacity=0;//使用了背包多少容量
static int MaxValue=0;//最大价值
static void method(int[][] arr,int k,int capacity,int value){
for (int i=k;i<arr.length;i++){
if (SetCapacity-capacity>=arr[i][0]){//判断当前背包的剩余容量是否可以装下第i个物品
capacity+=arr[i][0];
value+=arr[i][1];
method(arr,i+1,capacity,value);
//回溯
capacity-=arr[i][0];
value-=arr[i][1];
}else{//如果不行,则跳过第i个物品，继续递归后面的物品，看是否可以装下。
if (capacity>=SetCapacity)//如果背包装不下了，则退出循环，返回上一次递归
break;
method(arr,i+1,capacity,value);
}
}
if (value>MaxValue){
MaxValue=value;
MaxCapacity=capacity;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
SetCapacity=sc.nextInt();
int[][] arr=new int[n][2];
for (int i=0;i<n;i++){//物品大小
arr[i][0]=sc.nextInt();
}
for (int i=0;i<n;i++){//物品价值
arr[i][1]=sc.nextInt();
}
method(arr,0,0,0);
System.out.println(MaxCapacity+" "+MaxValue);//9 17
}
}
3、动态规划解01背包
Ⅰ、二维dp数组解01背包
1）dp数组的含义
可能很多人会写动态规划的题目，会写01背包，但是很多人却不会去注重思考dp数组的含义，其代表着什么？
01背包的dp数组含义是：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
不懂可以看看下面图，仔细想想。
2）递推公式
dp[i][j]=Max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ )dp[i][j]我们在上面知道 这 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。此时我们应该考虑下标为i物品是否放入背包（先要考虑j-wᵢ是否大于等于0，即此时是否能够放入物品i ），于是就有两种情况：放 或者 不放。
不放物品i就是dp[i-1][j]嘛，放物品i就是容量为j的背包需要留出这个物品i的容量才可以放物品i，即dp[i-1][ j-wᵢ ],而这又是下标为 0到 i-1 的物品里任意取，放进容量为 j-wᵢ 的背包，最大的价值总和。然后再由 dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ 就是dp[i][j]放物品 i 的最大价值。
然后 取 Max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ ) 二者的最大值。
3）dp数组的初始化
我们由上面知道了求 dp[i][j] 需要知道 dp[i-1][j]和 dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ ，即需要先知道上图红色箭头所指的位置，这样我们便清楚知道了，dp数组应该如何初始化，即绿色箭头所指的列和行。
初始化如下图：
dp数组初始化了，递推公式我们也知道了，后面这个数组自然而然也可以求出来了。
4）遍历顺序的讨论
上面我们得出dp数组是先遍历物品，再遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量再遍历物品，答案是可以的，但此时 dp[j][i] =Max( dp[ j-wᵢ ][ i-1 ]+vᵢ ,dp[ j ][ i-1 ] )。
而此时 dp数组的含义就是 容量为 j 的背包随机放 0-i 之间的物品，所放物品的最大价值。
5、代码
以先遍历物品，在遍历背包为例
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1,3,4};
int[] value = {3,4,6};
int bagSize = 4;
method(weight,value,bagSize);
}
/**
* 动态规划获得结果
* @param weight 物品的重量
* @param value 物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
public static void method(int[] weight, int[] value, int bagSize){
// 创建dp数组
int goods = weight.length; // 获取物品的数量
int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];
// 初始化dp数组
// 创建数组后，其中默认的值就是0
for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
// 填充dp数组
for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
if (j < weight[i]) {
/**
* 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
*/
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
/**
* 当前背包的容量可以放下物品i
* 那么此时分两种情况：
* 1、不放物品i
* 2、放物品i
* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
*/
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}
// 打印dp数组
for (int i = 0; i < goods; i++) {
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
}
}
输出
0 3 3 3 3
0 3 3 4 7
0 3 3 4 7 Ⅱ、一维数组解01背包
1）一维数组|滚动数组
我们在上面知道了 二维数组的递推公式是 dp[i][j]=Max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j-wᵢ ]+vᵢ )。
即dp[i][j] 的值只与上一层的左上方和正上方有关。换句话说只与上一层有关。那我们是不是可以将二维dp数组降为一维dp数组呢？
答案是可以的。
我们可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][ j -wᵢ ] + vᵢ );
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
2）一维数组的含义及递推公式
而此时一维数组dp[j]的含义就是 容量为j的背包所背的最大价值。
那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[ j - wᵢ ]推导出来，dp[j - wᵢ ]表示容量为j - wᵢ 的背包所背的最大价值。
dp[j - wᵢ ] + vᵢ 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是不放物品i ，取自己 dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，，一个是放物品i 取dp[j - wᵢ ] + vᵢ，然后求两者最大值，所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ] + vᵢ);
3）一维数组的初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始化为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ ] + vᵢ );
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取到最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
4）遍历一维数组
我们由上面知道了递推公式为 dp[j] = max(dp[j], dp[j - wᵢ ] + vᵢ )。虽然它是一维数组，但和我们二维递推数组还是很像的，所以想想我前面说的话：
dp[i][j] 的值只与上一层的左上方和正上方有关。
所以我们遍历的时候 应该先遍历物品，再遍历背包容量，并且背包是从大到小倒序遍历。
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量 for (int i = 0; i < wLen; i++){ for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){ dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }
还是这张图，如果我们顺序遍历背包，那么后面的值就会被影响，这会导致物品i被重复多次加入。举一个例子：物品1的重量 w = 1，价值 v= 3
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - w ] + v = 3
dp[2] = dp[2 - w ] + v = 6
此时dp[2]就已经是6了，意味着物品1，被放入了两次（这也违背了01背包每个物品只能放一次的规定，或者说这是完全背包），所以不能正序遍历。
而从后往前循环，每次取的状态不会和之前取的状态重合，这样每种物品就只取了一次。
5）遍历顺序的讨论
那这个一维数组的两个for循环是否可以颠倒呢？
答案是不可以的。
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个符合当前容量的最大价值的物品。
倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。
可以看下面循环顺序颠倒的代码，发现 每个 dp[j]就只会放入一个物品
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {3, 4, 6};
int bagWight = 4;
method(weight, value, bagWight);
}
public static void method(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历背包容量,再遍历物品，背包中就只会放一个物品
for (int j =bagWeight; j >=0; j--){
for (int i = 0; i < wLen&&j >= weight[i]; i++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
}
输出
0 3 3 4 6
6）代码
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {3, 4, 6};
int bagWight = 4;
method(weight, value, bagWight);
}
public static void method(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");//0 3 3 4 7
}
}
}
完全背包
1、题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用（这也是与01背包的区别）。
第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2、思路
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件，也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……取[V/c]件等很多种（我们可以想象01背包就是取0件或者1件，所以完全背包其实就是01背包转换过来的）。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
dp[j]=Max（ dp[j] , dp[j-c]+w)
3、遍历顺序的讨论
看了前面，我们知道01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量，而且背包容量还要是倒序（因为顺序的话就会将一个物品多次放入背包中）。
那么完全背包可以颠倒顺序吗？（指纯完全背包）
答案是可以的。
上面我们说的因为顺序的话就会将一个物品多次放入背包中，而完全背包每个物品有无限个，所以完全背包不需要倒序，顺序即可。而01背包一维数组因为只能倒序，所以先遍历背包容量，再遍历背包，背包中就只会放一个物品。但是完全背包解决了顺序倒序的问题，可以使用顺序了，那它先先遍历背包容量，再遍历背包便也没问题了。
为了方便 理解，可以下面画的两个二维dp数组的图
先物品后背包容量
先背包容量再物品
看了看到，不管怎么遍历，都可以由前面的值得到正确的dp[i][j],不会受到影响
4、代码
public class Main {
//先遍历物品，再遍历背包
static void testCompletePack(){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {3, 4, 6};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
for (int maxValue : dp){
System.out.print(maxValue + " ");
}
}
//先遍历背包，再遍历物品
static void testCompletePackAnotherWay(){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {3, 4, 6};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
if (i - weight[j] >= 0){
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
}
}
}
for (int maxValue : dp){
System.out.print(maxValue + " ");
}
}
public static void main(String[] args) {
testCompletePack();//0 3 6 9 12
System.out.println();
testCompletePackAnotherWay();//0 3 6 9 12
}
}
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