©作者 | 王建周

单位 | 来也科技AI团队负责人

研究方向 | 分布式系统、CV、NLP

前言

AIGC 目前是一个非常火热的方向，DALLE-2，ImageGen，Stable Diffusion 的图像在以假乱真的前提下，又有着脑洞大开的艺术性，以下是用开源的 Stable Diffusion 生成的一些图片。

这些模型后边都使用了 Diffusion Model 的技术，但是缺乏相关背景知识去单纯学习 Diffusion Model 门槛会比较高，不过沿着 AE、VAE、CVAE、DDPM 这一系列的生成模型的路线、循序学习会更好的理解和掌握，本文将从原理、数学推导、代码详细讲述这些模型。

AE (AutoEncoder)

AE 模型作用是提取数据的核心特征（Latent Attributes），如果通过提取的低维特征可以完美复原原始数据，那么说明这个特征是可以作为原始数据非常优秀的表征。

AE 模型的结构如下图：

训练数据通过 Encoder 得到 Latent，Latent 再通过 Decoder 得到重建数据，通过重建数据和训练的数据差异来构造训练 Loss，代码如下（本文所有的场景都是 mnist，编码器和解码器都用了最基本的卷积网络）：

class DownConvLayer(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, dim):
        super(DownConvLayer, self).__init__()
        self.conv = tf.keras.layers.Conv2D(dim, 3, activation=tf.keras.layers.ReLU(), use_bias=False, padding='same')
        self.pool = tf.keras.layers.MaxPool2D(2)

    def call(self, x, training=False, **kwargs):
        x = self.conv(x)
        x = self.pool(x)
        return x


class UpConvLayer(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, dim):
        super(UpConvLayer, self).__init__()
        self.conv = tf.keras.layers.Conv2D(dim, 3, activation=tf.keras.layers.ReLU(), use_bias=False, padding='same')
        # 通过UpSampling2D上采样
        self.pool = tf.keras.layers.UpSampling2D(2)

    def call(self, x, training=False, **kwargs):
        x = self.conv(x)
        x = self.pool(x)
        return x

# 示例代码都是通过非常简单的卷积操作实现编码器和解码器
class Encoder(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, dim, layer_num=3):
        super(Encoder, self).__init__()
        self.convs = [DownConvLayer(dim) for _ in range(layer_num)]

    def call(self, x, training=False, **kwargs):
        for conv in self.convs:
            x = conv(x, training)
        return x


class Decoder(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, dim, layer_num=3):
        super(Decoder, self).__init__()
        self.convs = [UpConvLayer(dim) for _ in range(layer_num)]
        self.final_conv = tf.keras.layers.Conv2D(1, 3, strides=1)

    def call(self, x, training=False, **kwargs):
        for conv in self.convs:
            x = conv(x, training)
        # 将图像转成和输入图像shape一致
        reconstruct = self.final_conv(x)
        return reconstruct


class AutoEncoderModel(tf.keras.Model):
    def __init__(self):
        super(AutoEncoderModel, self).__init__()
        self.encoder = Encoder(64, layer_num=3)
        self.decoder = Decoder(64, layer_num=3)

    def call(self, inputs, training=None, mask=None):
        image = inputs[0]
        # 得到图像的特征表示
        latent = self.encoder(image, training)
        # 通过特征重建图像
        reconstruct_img = self.decoder(latent, training)
        return reconstruct_img

    @tf.function
    def train_step(self, data):
        img = data["image"]
        with tf.GradientTape() as tape:
            reconstruct_img = self((img,), True)
        trainable_vars = self.trainable_variables
        # 利用l2 loss 来判断重建图片和原始图像的一致性
        l2_loss = (reconstruct_img - img) ** 2
        l2_loss = tf.reduce_mean(tf.reduce_sum(
            l2_loss, axis=(1, 2, 3)
        ))
        gradients = tape.gradient(l2_loss, trainable_vars)
        self.optimizer.apply_gradients(zip(gradients, trainable_vars))
        return {"l2_loss": l2_loss}

通过 AE 模型可以看到，只要有有效的数据的 Latent Attribute 表示，那么就可以通过 Decoder 来生成新数据，但是在 AE 模型中，Latent 是通过已有数据生成的，所以没法生成已有数据外的新数据。

所以我们设想，是不是可以假设 Latent 符合一定分布规律，只要通过有限参数能够描述这个分布，那么就可以通过这个分布得到不在训练数据中的新 Latent，利用这个新 Latent 就能生成全新数据，基于这个思路，有了 VAE（Variational AutoEncoder 变分自编码器）。

VAE

VAE 中假设 Latent Attributes （公式中用 z）符合正态分布，也就是通过训练数据得到的 z 满足以下条件：

因为 z 是向量，所 都是向量，分别为正态分布的均值和方差。有了学习得到正态分布的参数 ，那么就可以从这个正态分布中采样新的 z，新的 z 通过解码器得到新的数据。

所以在训练过程中需要同时优化两点：

1. 重建的数据和训练数据差异足够小，也就是生成 x 的对数似然越高，一般依然用 L2 或者 L1 loss；

2.  定义的正态分布需要和标准正态分布的一致，这里用了 KL 散度来约束两个分布一致；

Loss 公式定义如下，其中 和 为生成分布， 为编码分布， 为从正态分布中采样的先验分布：

Loss 的证明如下：

因为我们的目标是最大化对数似然生成分布 ，也就是最小化负的公式 15，也就是公式 1 的 Loss。

所以 VAE 的结构如下：

注意的是在上图中有一个采样 z 的操作，这个操作不可导导致无法对进行优化，所以为了反向传播优化，用到重参数的技巧，也就是将 z 表示成 的数学组合方式且该组合方式可导，组合公式如下：

‍

可以证明重参数后的模型 f 输出期望是不变的（z 是连续分布）。

在计算 定义的正态分布和 定义的正态分布的 KL 散度时，用了数学推导进行简化。

对公式 28 的 log 部分继续简化：

令：

将公式 32 和 33 带入公式 28 得到：

因为：

将公式 37、38、45 带入公式 34 得到最终的 KL 散度 Loss 公式：

因为 非负，所以我们通过神经网络来学习 。

有了前边的铺垫，所以 VAE 的实现上也比较简单，代码如下：

class VAEModel(tf.keras.Model):
    def __init__(self, inference=False):
        super(VAEModel, self).__init__()
        self.inference = inference
        self.encoder = Encoder(64, layer_num=3)
        self.decoder = Decoder(64, layer_num=3)
        # mnist 的size是28，这里为了简单对齐大小，缩放成了32
        self.img_size = 32
        # z的维度
        self.latent_dim = 64
        # 通过全连接来学习隐特征z正态分布的均值
        self.z_mean_mlp = tf.keras.Sequential(
            [
                tf.keras.layers.Dense(self.latent_dim * 2, activation="relu"),
                tf.keras.layers.Dense(self.latent_dim, use_bias=False),
            ]
        )
        # 通过全连接来学习隐特征z正态分布的方差的对数log(o^2)
        self.z_log_var_mlp = tf.keras.Sequential(
            [
                tf.keras.layers.Dense(self.latent_dim * 2, activation="relu"),
                tf.keras.layers.Dense(self.latent_dim, use_bias=False),
            ]
        )
        # 通过全连接将z 缩放成上采样输入适配的shape
        self.decoder_input_size = [int(self.img_size / (2 ** 3)), 64]
        self.decoder_dense = tf.keras.layers.Dense(
            self.decoder_input_size[0] * self.decoder_input_size[0] * self.decoder_input_size[1],
            activation="relu")

    def sample_latent(self, bs, image):
        # 推理阶段的z直接可以从标准正态分布中采样，因为训练的decoder已经可以从标准高斯分布生成新的图片了
        if self.inference:
            z = tf.keras.backend.random_normal(shape=(bs, self.latent_dim))
            z_mean, z_log_var = None, None
        else:
            x = image
            x = self.encoder(x)
            x = tf.keras.layers.Flatten()(x)
            z_mean = self.z_mean_mlp(x)
            z_log_var = self.z_log_var_mlp(x)
            epsilon = tf.keras.backend.random_normal(shape=(bs, self.latent_dim))
            '''
            实现重参数采样公式17
            u + exp(0.5*log(o^2))*e
            =u +exp(0.5*2*log(o))*e
            =u + exp(log(o))*e
            =u + o*e
            '''
            z = z_mean + tf.exp(0.5 * z_log_var) * epsilon
        return z, z_mean, z_log_var

    def call(self, inputs, training=None, mask=None):
        # 推理生成图片时，image为None
        bs, image = inputs[0], inputs[1]
        z, z_mean, z_log_var = self.sample_latent(bs, image)
        latent = self.decoder_dense(z)
        latent = tf.reshape(latent,
                            [-1, self.decoder_input_size[0], self.decoder_input_size[0], self.decoder_input_size[1]])
        # 通过z重建图像
        reconstruct_img = self.decoder(latent, training)
        return reconstruct_img, z_mean, z_log_var

    def compute_loss(self, reconstruct_img, z_mean, z_log_var, img):
        # 利用l2 loss 来判断重建图片和原始图像的一致性
        l2_loss = (reconstruct_img - img) ** 2
        l2_loss = tf.reduce_mean(tf.reduce_sum(
            l2_loss, axis=(1, 2, 3)
        ))
        # 实现公式48
        kl_loss = -0.5 * (1 + z_log_var - tf.square(z_mean) - tf.exp(z_log_var))
        kl_loss = tf.reduce_mean(tf.reduce_sum(kl_loss, axis=1))
        total_loss = kl_loss + l2_loss
        return {"l2_loss": l2_loss, "total_loss": total_loss, "kl_loss": kl_loss}

    @tf.function
    def forward(self, data, training):
        img = data["img_data"]
        bs = tf.shape(img)[0]
        reconstruct_img, z_mean, z_log_var = self((bs, img), training)
        return self.compute_loss(reconstruct_img, z_mean, z_log_var, img)

    def train_step(self, data):
        with tf.GradientTape() as tape:
            result = self.forward(data, True)
        trainable_vars = self.trainable_variables
        gradients = tape.gradient(result["total_loss"], trainable_vars)
        self.optimizer.apply_gradients(zip(gradients, trainable_vars))
        return result

生成的图片效果如下：

在我们大多数生成场景，都需要带有控制条件，比如我们在生产手写数字的时候，我们需要明确的告诉模型，生成数字 0 的图片，基于这个需求，有了 Conditional Variational AutoEncoder（CVAE）。

CVAE

CVAE 的改进思路比较简单，就是训练阶段的 z 同时由 x 和控制条件 y 决定，同时生成的 x 也是由 y 和 z 同时决定，Loss 如下：

而  q(z|y) 我们仍然期望符合标准正态分布，对 VAE 代码改动非常少，简单的实现方法就是对条件 y 有一个 embedding 表示，这个 embedding 表示参与到 encoder 和 decoder 的训练，代码如下：

class CVAEModel(VAEModel):
    def __init__(self, inference=False):
        super(CVAEModel, self).__init__(inference=inference)
        # 定义label的Embedding
        self.label_dim = 128
        self.label_embedding = tf.Variable(
            initial_value=tf.keras.initializers.HeNormal()(shape=[10, self.label_dim]),
            trainable=True,
        )
        self.encoder_y_dense = tf.keras.layers.Dense(self.img_size * self.img_size, activation="relu")
        self.decoder_y_dense = tf.keras.layers.Dense(
            self.decoder_input_size[0] * self.decoder_input_size[0] * self.decoder_input_size[1], activation="relu")

    def call(self, inputs, training=None, mask=None):
        # 推理生成图片时，image为None
        bs, image, label = inputs[0], inputs[1], inputs[2]
        label_emb = tf.nn.embedding_lookup(self.label_embedding, label)
        label_emb = tf.reshape(label_emb, [-1, self.label_dim])
        if not self.inference:
            # 训练阶段将条件label的embedding拼接到图片上作为encoder的输入
            encoder_y = self.encoder_y_dense(label_emb)
            encoder_y = tf.reshape(encoder_y, [-1, self.img_size, self.img_size, 1])
            image = tf.concat([encoder_y, image], axis=-1)
        z, z_mean, z_log_var = self.sample_latent(bs, image)
        latent = self.decoder_dense(z)
        # 将条件label的embedding拼接到z上作为decoder的输入
        decoder_y = self.decoder_y_dense(label_emb)
        latent = tf.concat([latent, decoder_y], axis=-1)
        latent = tf.reshape(latent,
                            [-1, self.decoder_input_size[0], self.decoder_input_size[0],
                             self.decoder_input_size[1] * 2])
        # 通过特征重建图像
        reconstruct_img = self.decoder(latent, training)
        return reconstruct_img, z_mean, z_log_var

    @tf.function
    def forward(self, data, training):
        img = data["img_data"]
        label = data["label"]
        bs = tf.shape(img)[0]
        reconstruct_img, z_mean, z_log_var = self((bs, img, label), training)
        return self.compute_loss(reconstruct_img, z_mean, z_log_var, img)

    def train_step(self, data):
        with tf.GradientTape() as tape:
            result = self.forward(data, True)
        trainable_vars = self.trainable_variables
        gradients = tape.gradient(result["total_loss"], trainable_vars)
        self.optimizer.apply_gradients(zip(gradients, trainable_vars))
        return result

生成 0~9 的图片效果如下：

从 VAE 的原理可以看到，我们做了假设 ，但是在大多数场景，这个假设过于严苛，很难保证数据特征符合基本的正态分布（严格意义上也做不到，严格分布的话说明特征就是高斯噪声了），因为这个缺陷，所以基本的 VAE 生成的图像细节不够，边缘偏模糊。

为了解决这些问题，又出现 DDPM（Denoising Diffusion Probabilistic Model），因为 DDPM 相比 GAN，更容易训练（GAN 需要交替训练，而且容易出现模式崩塌，可以参考我们以前的文章），此外 DDPM 的多样性相比 GAN 更好（GAN 因为生成的图像要“欺骗”过鉴别器，所以生成的图像和训练集合的真实图像类似），所以最近 DDPM 成为最受欢迎的生成模型。

DDPM

DDPM 启发点来自非平衡热力学，系统和环境之间有着物质和能量交换，比如在一个盛水的容器中滴入一滴墨水，最终墨水会均匀的扩散到水中，但是如果扩散的每一步足够小，那么这一步就可逆。

所以主要流程上分两个阶段，前向加噪和反向去噪，原始数据为 ，每一步添加足够小的高斯噪声，经过足够的 step T 后，最终数据 会变成标准的高斯噪声（下图的 q），因为前向加噪上是可行的，所以我们假设反向去噪也是可行的，可以逐步的从噪声中一点点的恢复数据的有用信息（下图的 p）直到为 ，下边将详细介绍两部分。

1. 前向加噪

假设前向加噪过程每一步添加噪声的过程符合以下高斯分布，且整个过程满足马尔科夫链，即以下公式：

根据上文提到的重参数技巧，公式 50 可以写成（为了方便，写成标量形式）：

其中 ，所以公式 52 可以理解为向原始的数据设中加非常小的高斯噪音，并且随着t变大加的噪音逐渐变大，为了方便公式推导，令：

因为：

根据正态分布的求和计算公式以及重参数技巧：

令 ，将公式 63 带入 57 并推导到一般形式，得到如下前向公式：

公式 64 就是正向过程的最终公式，可以看到正向过程是不存在任何网络参数的，而且对于给定的 t，无需迭代，通过表达式可以直接计算得到 。

2. 反向去噪

反向去噪期望从标准的高斯分布噪声 逐步的消除噪音，每次只恢复目标数据的一点点，最终生成目标数据 ，假设的反向去噪也是符合高斯分布和马尔科夫链，可以用以下数学公式描述：

因为 中 是依赖 的，所以单纯的 是无法计算的，所以我们需要转而计算 （上图的粉色路径），前者有带学习的参数，我们假设：

接下来的目标是需要写出 的表达式，主要是利用条件概率和贝叶斯公式（为了简化都用标量的形式）。

带入各自的表达式：

得到：

对比正态分布公式：

可以得到我们需要的 的表达式：

接下来我们需要推导下优化的目标，根据前边公式 10 的推导有以下：

因为：

公式 101 代入公式 96 得到：

对 112 的 继续推导：

其中 中 为直接计算出来等于常数，所以 为常数；而 为 的 t=1 的特殊表达式，故可以合并到 ，所以从公式 95 可以看出，我们最大化的对数似然 ，等价最小化公式 118，而根据公式 47，两个正态分布的 KL 散度等于：

如果上述的 KL 离散度最小，我们希望 逼近 ，根据前边公式93的推导，我们知道：

根据这个公式，对于已知 的情况下，如果能预测出 ，就可以解决我们的问题，启发我们设计以下目标：

所以 KL 散度（公式 122）变成以下公式：

前边的公式 130 的常数 在训练过程可以认为被合并到学习率，所以可以被略掉，所以我们最终的优化目标 Loss 为以下：

所以训练过程如下：

从公式 66 和 126，以及重参数技巧可以得知：

所以等待训练完成得到 后，循环执行公式 132 就得到了最终的目标数据 ，过程如下：

经过前边较多的公式推导，最终得到 DDPM 的训练和生成过程确非常简单，从前边能看到希望网络 输入输出 shape 一致，所以常见的 DDPM 都是用 unet 来实现（下图，核心是四点：下采样、上采样、上下采样的特征拼接），在代码上我们做了部分优化。

1. 为了简化代码，我们去掉常见实现方式的 self-attention；

2. 一般时间步 t 也会采用 transformer 中基本的 sincos 的 position 编码，为了简化编码，我们的时间编码直接采用可以学习网络并只加入 Unet 的编码阶段，解码阶段不加入；

3. 相比前边的 VAE 代码，这里的代码相对复杂，卷积模块采用 Resnet 的残差处理方式（经过实验，前边 VAE 基本的编码器和解码器过于简单，没法收敛）；

4. 参照官方，用 group norm 代替 batch norm。

class ConvResidualLayer(tf.keras.layers.Layer):
    def __init__(self, filter_num):
        super(ConvResidualLayer, self).__init__()
        self.conv1 = tf.keras.layers.Conv2D(filter_num, kernel_size=1, padding='same')
        # import tensorflow_addons as tfa
        self.gn1 = tfa.layers.GroupNormalization(8)
        self.conv2 = tf.keras.layers.Conv2D(filter_num, kernel_size=3, padding='same')
        self.gn2 = tfa.layers.GroupNormalization(8)
        self.act2 = tf.keras.activations.swish

    def call(self, inputs, training=False, *args, **kwargs):
        residual = self.conv1(inputs)
        x = self.gn1(residual)
        x = tf.nn.swish(x)
        x = self.conv2(x)
        x = self.gn2(x)
        x = tf.nn.swish(x)
        out = x + residual
        return out / 1.44

class SimpleDDPMModel(tf.keras.Model):
    def __init__(self, max_time_step=100):
        super(SimpleDDPMModel, self).__init__()
        # 定义ddpm 前向过程的一些参数
        self.max_time_step = max_time_step
        # 采用numpy 的float64，避免连乘的精度失准
        betas = np.linspace(1e-4, 0.02, max_time_step, dtype=np.float64)
        alphas = 1.0 - betas
        alphas_bar = np.cumprod(alphas, axis=0)
        betas_bar = 1.0 - alphas_bar
        self.betas, self.alphas, self.alphas_bar, self.betas_bar = tuple(
            map(
                lambda x: tf.constant(x, tf.float32),
                [betas, alphas, alphas_bar, betas_bar]
            )
        )
        filter_nums = [64, 128, 256]
        self.encoders = [tf.keras.Sequential([
            ConvResidualLayer(num),
            tf.keras.layers.MaxPool2D(2)
        ]) for num in filter_nums]
        self.mid_conv = ConvResidualLayer(filter_nums[-1])
        self.decoders = [tf.keras.Sequential([
            tf.keras.layers.Conv2DTranspose(num, 3, strides=2, padding="same"),
            ConvResidualLayer(num),
            ConvResidualLayer(num),
        ]) for num in reversed(filter_nums)]
        self.final_conv = tf.keras.Sequential(
            [
                ConvResidualLayer(64),
                tf.keras.layers.Conv2D(1, 3, padding="same")
            ]
        )
        self.img_size = 32
        self.time_embeddings = [
            tf.keras.Sequential(
                [
                    tf.keras.layers.Dense(num, activation=tf.keras.layers.LeakyReLU()),
                    tf.keras.layers.Dense(num)
                ]
            )
            for num in filter_nums]

    # 实现公式 64 从原始数据生成噪音图像
    def q_noisy_sample(self, x_0, t, noisy):
        alpha_bar, beta_bar = self.extract([self.alphas_bar, self.betas_bar], t)
        sqrt_alpha_bar, sqrt_beta_bar = tf.sqrt(alpha_bar), tf.sqrt(beta_bar)
        return sqrt_alpha_bar * x_0 + sqrt_beta_bar * noisy

    def extract(self, sources, t):
        bs = tf.shape(t)[0]
        targets = [tf.gather(source, t) for i, source in enumerate(sources)]
        return tuple(map(lambda x: tf.reshape(x, [bs, 1, 1, 1]), targets))

    # 实现公式 131，从噪声数据恢复上一步的数据
    def p_real_sample(self, x_t, t, pred_noisy):
        alpha, beta, beta_bar = self.extract([self.alphas, self.betas, self.betas_bar], t)
        noisy = tf.random.normal(shape=tf.shape(x_t))
        # 这里的噪声系数和beta取值一样，也可以满足越靠近0，噪声越小
        noisy_weight = tf.sqrt(beta)
        # 当t==0 时，不加入随机噪声
        bs = tf.shape(x_t)[0]
        noisy_mask = tf.reshape(
            1 - tf.cast(tf.equal(t, 0), tf.float32), [bs, 1, 1, 1]
        )
        noisy_weight *= noisy_mask
        x_t_1 = (x_t - beta * pred_noisy / tf.sqrt(beta_bar)) / tf.sqrt(alpha) + noisy * noisy_weight
        return x_t_1

    # unet 的下采样
    def encoder(self, noisy_img, t, data, training):
        xs = []
        for idx, conv in enumerate(self.encoders):
            noisy_img = conv(noisy_img)
            t = tf.cast(t, tf.float32)
            time_embedding = self.time_embeddings[idx](t)
            time_embedding = tf.reshape(time_embedding, [-1, 1, 1, tf.shape(time_embedding)[-1]])
            # time embedding 直接相加
            noisy_img += time_embedding
            xs.append(noisy_img)
        return xs

    # unet的上采样
    def decoder(self, noisy_img, xs, training):
        xs.reverse()
        for idx, conv in enumerate(self.decoders):
            noisy_img = conv(tf.concat([xs[idx], noisy_img], axis=-1))
        return noisy_img

    @tf.function
    def pred_noisy(self, data, training):
        img = data["img_data"]
        bs = tf.shape(img)[0]
        noisy = tf.random.normal(shape=tf.shape(img))
        t = data.get("t", None)
        # 在训练阶段t为空，随机生成成t
        if t is None:
            t = tf.random.uniform(shape=[bs, 1], minval=0, maxval=self.max_time_step, dtype=tf.int32)
            noisy_img = self.q_noisy_sample(img, t, noisy)
        else:
            noisy_img = img
        xs = self.encoder(noisy_img, t, data, training)
        x = self.mid_conv(xs[-1])
        x = self.decoder(x, xs, training)
        pred_noisy = self.final_conv(x)
        return {
            "pred_noisy": pred_noisy, "noisy": noisy,
            "loss": tf.reduce_mean(tf.reduce_sum((pred_noisy - noisy) ** 2, axis=(1, 2, 3)), axis=-1)
        }

    # 生成图片
    def call(self, inputs, training=None, mask=None):
        bs = inputs[0]
        x_t = tf.random.normal(shape=[bs, self.img_size, self.img_size, 1])
        for i in reversed(range(0, self.max_time_step)):
            t = tf.reshape(tf.repeat(i, bs), [bs, 1])
            p = self.pred_noisy({"img_data": x_t, "t": t}, False)
            x_t = self.p_real_sample(x_t, t, p["pred_noisy"])
        return x_t

    def train_step(self, data):
        with tf.GradientTape() as tape:
            result = self.pred_noisy(data, True)
        trainable_vars = self.trainable_variables
        gradients = tape.gradient(result["loss"], trainable_vars)
        self.optimizer.apply_gradients(zip(gradients, trainable_vars))
        return {"loss": result["loss"]}

    def test_step(self, data):
        result = self.pred_noisy(data, False)
        return {"loss": result["loss"]}

生成的图片如下：

类似 CVAE，使用 DDPM 的时候，我们依然希望可以通过条件控制生成，如前边提到的 DALLE-2，Stable Diffusion 都是通过条件（文本 prompt）来控制生成的图像，为了实现这个目的，就需要采用 Conditional Diffusion Model。

Conditional Diffusion Model

目前最主要使用的 Conditional Diffusion Model 主要有两种实现方式，Classifier-guidance 和 Classifier-free，从名字也可以看出，前者需要一个分类器模型，后者无需分类器模型，下边讲简单推导两种的实现方案，并给出  Classifier-free Diffusion Model 的实现代码。

1. Classifier-guidance

参考前边的推导公式在无条件的模型下，我们需要优化；而在控制条件 y 下，我们需要优化的是，可以用贝叶斯进行以下的公式推导：

从以下公式推导可以看出，我们需要一个分类模型，这个分类模型可以对前向过程融入噪音的数据很好的分类，在扩散模型求梯度的阶段，融入这个分类模型对当前噪音数据的梯度即可。

2. Classifier-free

通过 classifier-guidance 的公式证明，我们很容易得到以下的公式推导：

取值 0~1 之间，从公式 140 可以看出，只要我们在模型输入上，采样性的融入 y 就可以达到目标，所以在前边的 DDPM 代码上改动比较简单，我们对 0~9 这 10 个数字学习一个 embedding 表示，然后采样性的加入 unet 的 encoder 的阶段，代码如下：

class SimpleCDDPMModel(SimpleDDPMModel):
    def __init__(self, max_time_step=100, label_num=10):
        super(SimpleCDDPMModel, self).__init__(max_time_step=max_time_step)
        # condition 的embedding和time step的一致
        self.condition_embedding = [
            tf.keras.Sequential(
                [
                    tf.keras.layers.Embedding(label_num, num),
                    tf.keras.layers.Dense(num)
                ]
            )
            for num in self.filter_nums]

    # unet 的下采样
    def encoder(self, noisy_img, t, data, training):
        xs = []
        mask = tf.random.uniform(shape=(), minval=0.0, maxval=1.0, dtype=tf.float32)
        for idx, conv in enumerate(self.encoders):
            noisy_img = conv(noisy_img)
            t = tf.cast(t, tf.float32)
            time_embedding = self.time_embeddings[idx](t)
            time_embedding = tf.reshape(time_embedding, [-1, 1, 1, tf.shape(time_embedding)[-1]])
            # time embedding 直接相加
            noisy_img += time_embedding
            # 获取 condition 的embedding
            condition_embedding = self.condition_embedding[idx](data["label"])
            condition_embedding = tf.reshape(condition_embedding, [-1, 1, 1, tf.shape(condition_embedding)[-1]])
            # 训练阶段一定的概率下加入condition，推理阶段全部加入
            if training:
                if mask < 0.15:
                    condition_embedding = tf.zeros_like(condition_embedding)
            noisy_img += condition_embedding
            xs.append(noisy_img)
        return xs

    # 生成图片
    def call(self, inputs, training=None, mask=None):
        bs = inputs[0]
        label = tf.reshape(tf.repeat(inputs[1], bs), [-1, 1])
        x_t = tf.random.normal(shape=[bs, self.img_size, self.img_size, 1])
        for i in reversed(range(0, self.max_time_step)):
            t = tf.reshape(tf.repeat(i, bs), [bs, 1])
            p = self.pred_noisy({"img_data": x_t, "t": t, "label": label}, False)
            x_t = self.p_real_sample(x_t, t, p["pred_noisy"])
        return x_t

最终生成的图片如下：

参考文献

[1] https://www.jarvis73.com/2022/08/08/Diffusion-Model-1/

[2] https://blog.csdn.net/qihangran5467/article/details/118337892

[3] https://jaketae.github.io/study/vae/

[4] https://pyro.ai/examples/cvae.html

[5] https://lilianweng.github.io/posts/2021-07-11-diffusion-models/

[6] https://spaces.ac.cn/archives/9164

[7] https://zhuanlan.zhihu.com/p/575984592

[8] https://kxz18.github.io/2022/06/19/Diffusion/

[9] https://zhuanlan.zhihu.com/p/502668154

[10] https://xyfjason.top/2022/09/29/%E4%BB%8EVAE%E5%88%B0DDPM/

[11] https://arxiv.org/pdf/2208.11970.pdf

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