一、图的基本概念

1.1 基本图术语

• 有向图：图的边是有向边。记为 <v,w>：有向边从顶点v和顶点w的弧。表示v弧尾，w为弧头。

• 无向图：图的边是无向边。记为 (v,w)：无向边从顶点v和顶点w的弧。v，w都表示顶点。
  

• 简单图：①不存在重复边②不存在顶点到自身的边

• 完全图：无向图中，每两个顶点之间都得有边。有向图中，每两个顶点之中都存在方向相反的两条弧

• 子图：就是一个整图的一部分，但是必须子图也是图。且也就是说边和顶点需要一起出现。

1.2 关于度的性质

• 无向图：几条边就是几个度（全部顶点的度的和等于边数的两倍）d=2e
• 有向图：某顶点的度=出度数+入度数（全部顶点的度=所有顶点出度+入度）

1.3 关于路径及距离

• 路径：从一个顶点到另一个顶点之间的一条顶点序列。（经过的点的序列）
• 路径长度：路径上边的数目。
• 回路/环：从第一个顶点到最后一个顶点相同的路径。
• 距离：从一个顶点到另一个顶点若存在最短路径，则称此路径长度为距离。
• 简单路径：顶点不重复出现的路径。
• 简单回路：顶点不重复出现的回路。

1.4 关于连通图及连通分量

该概念针对无向图

• 连通：从顶点v到顶点w有路径存在，则v和w是连通的
• 连通图：图G中，任意两个顶点是连通的，则称为连通图。边数大于等于n-1。
• 连通分量：无向图中极大连通子图成为连通分量。
• 极大连通子图：就是连通分量。子图尽可能多的包含的顶点和边。
• 极小连通子图：边数最少，图又连通的子图。
• 非连通图：图中有n个顶点，边数小于n-1，则为非连通图。
  

1.5 关于强连通图及强连通分量

该概念针对有向图

• 强连通：从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径。
• 强连通图：图中任意顶点都是强连通的。
• 强连通分量：有向图中的极大强连通子图。
  

1.6 生成树，生成森林

• 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
• 若图的顶点数为n，则它得生成树含有n-1条边。
• 若这棵树砍掉一条边，变为非连通图；这棵树加上一条边会变成回路。
• 非连通图中，连通分量的生成树就成为非连通图的生成森林。

1.7 经典例题

• 务必熟记有向图和无向图的完全图的边数两个公式
  

二、图的存储

2.1 邻接矩阵法

• 概念
  • 用一维数组存储图中顶点信息。二维数组存储边的信息（各顶点之间的邻接关系）

#define MaxVertexNum 100			//顶点数目最大值
typedef char VertextType;			//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;					//带权图中权值和数据类型
typedef struct{
	VerTexTyoe Vex[MaxVertexNum];	//顶点表
	EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，边表
	int vexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧数
}MGraph;

• 性质
  • 邻接矩阵表示法的空间复杂度为 O(n²)，n为顶点数}|V|
  • 无向图的邻接矩阵中行或者列表示顶点的度
  • 有向图的邻接矩阵中行表示出度，列表示入度。出度数加入度数才等于有向图的度
  • 邻接矩阵的时间复杂度与顶点数有关。
  • 稠密图适合邻接矩阵，
  • 计算度和找边的关系必须进行遍历

2.2 邻接表法

• 概念
  • 主要有两个部分组成，顶点表和边表。
  • 边表：某个顶点依附的顶点。即出度
  • 顶点表：某个图中所有的顶点。

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{	//图中顶点数目的最大值
	int adjvex;					//边表结点
	struct ArcNode *next;//该弧所指向的顶点的位置
	}ArcNode;	
					
typedef struct VNode{	//顶点表结点
	VerTexTyoe data;//顶点信息
	ArcNode *first;	//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct{
	AdjList vertices;	//邻接表
	int vexnum,arcnum;//图的顶点数和弧数
}ALGraph;

• 性质
  • 若为 无向图，则所存储的空间为 O(V +2E)；若为 有向图，则所存储空间为 O(V+E)。 （无向图需要存储两次边）
  • 邻接表中给定一个顶点，出度很容易找，但是入度非常复杂。花费的时间为O(n)
  • 图的邻接表表示法并不唯一，因为每个顶点对应的单链表，各边结点的链接次序可以任意。
  • 适合稀疏图

2.3 十字链表法（考的少）

• 十字链表是有向图的一种链式存储结构。对于有向图每条弧有一个结点，对于每个顶点都有一个结点。

2.4 邻接多重表（考的少）

• 邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构。

三、图的基本概念及存储常见考点

• 含有n个顶点和e条边的无向图的邻接矩阵中，零元素的个数为 n²-2e

• 一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示不唯一

• 邻接表有奇数个边表结点，则图为有向图

• 在有向图的邻接表存储结构中，顶点v在边表中出现次数为顶点v的入度

• n个顶点的无向图的邻接表最多有n(n-1)个边表结点。一个顶点n个n-1边表

• n个顶点，e条边的有向图用邻接表表示，则删除某个顶点v相关的所有边的复杂度为 O(n+e)