一、回归问题

回归问题是指研究某一因变量 y 与另一组变量（x1，x2，…，xk）之间的关系统计分析方法，在机器学习中，x 通常也被称为特征变量，特征变量的好坏对最终模型的准确性有较大的影响。

二、模型定义

$$f_{\theta }({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_k)={\theta }_0{x}_0+{\theta }_1{x}_1+...+{\theta }_k{x}_k$$
其中x0恒为1，用来表示模型中的常数项

三、代价函数

代价函数也被称为损失函数，通常被用作学习过程中的优化准则，回归问题就是通过拟合一系列参数从而使得代价函数的最小化，对于回归问题，代价函数通常被定义为拟合值与真实值之间的方差，即
$$J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_k)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[f_{\theta }(x_0^{(i)},x_1^{(i)},...,x_k^{(i)})-y^{(i)}{]}^2$$
其中 i 为样本序号，n表示样本总量，θ为拟合参数。
机器学习过程即是通过一定的算法调节参数θ，从而使得代价函数达到最小值，此时可以得到最优模型。

四、梯度下降方法实现线性回归

1、梯度下降法原理

梯度下降法在机器学习中应用非常广泛，是一种求解函数最小值的算法。其基本过程与下山类似，如图

我们有一个可微分的函数，目标就是找到这个函数的最小值，最快的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数变化最快的方向，然后重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求函数梯度就确定了最陡峭的方向。

2、模型求解

• 模型求解的关键是利用梯度下降方法求解代价函数的最低值，代价函数的梯度函数为
  $$\frac{\partial J_{\theta }}{\partial {\theta }_t}=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{x}_t[f_{\theta }(x_0^{(i)},x_1^{(i)},...,x_k^{(i)})-y^{(i)}]$$

• 使用环境：MATLAB R2019a

• 代码

%% 多元线性回归
clc;
close all;
clear;

a = 0.01; %%定义学习率，描述梯度下降快慢
N = 500;  %%定义样本总数
cvg = 1e-10;  %%定义收敛标准
dim = 4;  %%定义样本特征变量维度
x0 = (ones(1,N))';
x_ = rand(N,dim);
X = [x0,x_];
y = X*[7.8;10.4;3.9;-4.3;2.2] + (0.8*randn(1,N))';

theta0 = 10*rand(dim+1,1);
diff_theta = ones(dim+1,1);
cvg_theta = cvg*ones(dim+1,1);

while not(isequal((diff_theta > cvg_theta),zeros(dim+1,1)))
    for i = 1:(dim+1)
        theta_n(i,1) = theta0(i,1) - a/N*X(:,i)'*(X*theta0-y);
    end
    diff_theta = abs(theta_n - theta0);
    theta0 = theta_n;
end

%% 画图
figure();
for i = 1:dim
    subplot(dim,1,i);
    hold on;
    scatter(X(:,i+1),y,2.0);
    t=0:1e-4:1;
    plot(t,t*theta_n(i+1,1)+theta_n(1,1),'r');
    title(sprintf("x%d --- y",i+1));
end

• 最终计算得到的图像如图：
  

五、正规方程法

1、原理

用正规方程法求解模型参数时，依据的是线代的相关知识，无序设置学习率，无序迭代，秩序对初始数据作简单处理，即可以得到结果，依据的公式是：
$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
其中：
$$X=\left(\begin{array}{cccc}1& x_1^{(1)}& \cdots & x_k^{(1)}\\ 1& x_1^{(2)}& \cdots & x_k^{(2)}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_1^{(n)}& \cdots & x_k^{(n)}\end{array}\right)$$

$$y=\left(\begin{array}{c}{y}^{(1)}\\ y^{(2)}\\ ⋮\\ y^{(n)}\end{array}\right)$$

$$\theta =\left(\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ ⋮\\ {\theta }_k\end{array}\right)$$

2、matlab实现：

%% 多元线性回归
clc;
close all;
clear;

N = 500;  %%定义样本总数
dim = 4;  %%定义样本特征变量维度
x0 = (ones(1,N))';
x_ = rand(N,dim);
X = [x0,x_];
y = X*[7.8;10.4;3.9;-4.3;2.2] + (0.8*randn(1,N))';
theta = pinv(X'*X)*X'*y;
figure();
for i = 1:dim
    subplot(dim,1,i);
    hold on;
    scatter(X(:,i+1),y,2.0);
    t=0:1e-4:1;
    plot(t,t*theta(i+1,1)+theta(1,1),'r');
    title(sprintf("x%d --- y",i+1));
end

运行结果：