不是重量变了，是力臂变了。更关键的是，质心位置还出现在惯性矩阵的交叉项里——M₁₂ = m₂·(com₂² + L₁·com₂·cosθ₂)，com₂变大，惯性耦合增强，第一轴加速时通过M₁₂传递给第二轴的耦合力矩也变大。重力项 G(q) 与质心的关系：τ_G2 = -g·[m₂·com₂·cos(θ₁+θ₂) + m₃·com₃·cos(θ₁+θ₂+θ₃) + m₄·(com₃+L₂)·cos(

重力项 G(q) 与质量的关系：τ_G1 = -g·[m₁·com₁·cosθ₁ + m₂·(L₁·cosθ₁ + com₂·cos(θ₁+θ₂)) + (m₃+m₄)·(L₁·cosθ₁ + L₂·cos(θ₁+θ₂+θ₃))]。"第三轴是腕部俯仰，它的重力项里含有(m₂+m₃+m₄)·L₂·cos(θ₁+θ₂+θ₃)——大臂质量变化不改变第三轴的重力矩（大臂力臂通过L₁，不经过L₂）。M₃₃

《Python机器人基础原理》第十五篇：高速搬运仿真——对比低速与高速工况，分析科氏力项对关节输出力矩带来的影响 1. 实际工业应用场景 周五夜班，某3C电子元件高速分拣线。节拍要求：每0.8秒完成一次"抓取-抬升-平移-放下"循环，末端负载0.8 kg，运动速度峰值2.4 m/s，加速度峰值12 m/s²。一台3-DOF平面关节机械臂（2旋转+1垂直平移）负责将PCB板从进料传送带搬运到检测工位

其中 z{i-1} 是第i-1个连杆的z轴方向（关节旋转轴），r{c,i} 是第i个连杆质心在基座坐标系中的位置向量，m_i·g 是重力大小（方向沿基座负z轴）。平移关节则不同——重力直接沿平移方向拉/推滑块，产生的是轴向力（单位N），不产生旋转力矩（单位N·m），两者物理含义不同，不能混在一个向量里。"而且——"小赵接着说，"你算的是水平伸直时的力矩。峰值速度才0.5 m/s，惯性力很小，我按静

对于SCARA构型，末端位置只由θ₁和θ₂两个关节决定（腕部roll关节θ₃只改变姿态、第4关节只改变高度），因此位置奇异的本质是平面2连杆的奇异，用2×2子块行列式 |det| = L₁·L₂·|sin(θ₂)| 判定。取阈值1e-4 m²，对应|sin(θ₂)|<5e-4，即θ₂距奇异位置约0.03°以内才触发——这个阈值偏紧，适合高精度的焊接场景。雅可比线速度子块的前3列中，第3列恒为零向量

叉乘的物理含义：绕z轴旋转时，距离旋转轴|p_end - p_{i-1}|远的位置，线速度大小等于角速度乘以力臂长度，方向垂直于"从旋转轴到末端的连线"和"旋转轴"构成的平面。本篇解决的问题：给定一组关节角度，计算该位形下的解析雅可比矩阵（6×4），将关节空间速度向量（θ₁dot, θ₂dot, θ₃dot, d₄dot）映射到末端笛卡尔速度（v_x, v_y, v_z, ω_x, ω_y, ω_

余弦定理求肘角：在由大臂L₁、小臂L₂和目标水平距离r构成的三角形中，cos(θ₂) = (r² - L₁² - L₂²) / (2·L₁·L₂)。本篇解决的问题：给定同一个末端目标位姿，自动统计逆运动学可行解的数量，并明确区分"肘上"（elbow-up，俯视平面内小臂相对大臂逆时针弯折，θ₂>0）和"肘下"（elbow-down，顺时针弯折，θ₂<0）两种构型。奇异检测（cos域判定）：当r =

输入第九篇输出的全部数学解 + 关节硬件限位参数，输出物理可执行的关节角度组合。本篇解决的问题：在第九篇逆运动学求解器输出的全部数学解（2组）基础上，引入关节硬件限位参数，自动剔除超出每个关节转角范围的无效解，只输出物理可执行的关节构型。"上篇输出的是全部数学解——两组解都在数学上能到达目标点，但其中一组θ₂=+125°，超出了硬件限位的±110°。"arctan2(sin(θ), cos(θ))

这就是本篇要解决的问题：给定一台4-DOF SCARA装配机器人的结构参数和末端目标位姿（x, y, z, 绕z轴姿态角φ），调用符号推导工具箱求解逆运动学，输出全部数学解（多个关节角度组合），暂不筛选最优解。前两个旋转关节决定末端在XY平面上的位置（纯平面几何，余弦定理直接解），第三个旋转关节决定末端姿态角（由目标姿态唯一确定），第四个平移关节决定z高度（直接减法）。逆运动学是"倒推"——一个末

本篇采用的构型（α=[π/2, 0, -π/2, π/2, -π/2, 0]）零位下旋转矩阵恰好是单位阵，末端z轴竖直向上——焊枪竖直朝下指工件，符合焊接直觉。这就是本篇要解决的问题：给定一台6轴弧焊机器人的标准D-H参数表，加载多组关节角度（模拟环焊缝上均匀采样的20个姿态点），批量执行正运动学计算，输出每个采样点对应的末端执行器（焊枪）三维空间坐标。每个关节的转动用一个4×4齐次变换矩阵描述，