摘要

这道题来自 LeetCode 375 —— 猜数字大小 II。
乍一看，它好像只是一个小游戏：“我选一个 1 到 n 的数字，你来猜，每次猜错要付钱”。但仔细一想，你会发现问题的关键在于：如何设计一个策略，让你无论我选什么数字，你都能保证获胜，并且花的钱最少。

这其实就是一个经典的 动态规划（Dynamic Programming, DP）问题，跟我们日常开发里做风险预估、最坏情况预算其实挺像的。比如公司做项目时，不光要看理想情况，还要考虑最坏可能，把资源预算拉到最优。这题就是用数学把这种逻辑走了一遍。

接下来我会带你详细拆解问题，给出 Swift 代码实现，并结合实际场景来帮你理解。

描述

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

1. 我从 1 ****到 n 之间选择一个数字。
2. 你来猜我选了哪个数字。
3. 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
4. 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
5. 每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。

给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。

示例 1：

输入： n = 10
输出： 16
解释： 制胜策略如下：
- 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。
    - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。
        - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
        - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
    - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。
        - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
            - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
        - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。
在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。

示例 2：

输入： n = 1
输出： 0
解释： 只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。

示例 3：

输入： n = 2
输出： 1
解释： 有两个可能的数字 1 和 2 。
- 你可以先猜 1 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $1 。
    - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。
最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。

提示：

• 1 <= n <= 200

题解答案

这题的核心就是 动态规划。我们定义：

• dp[l][r] 表示当数字范围在 [l, r] 时，保证获胜所需的最小现金。

• 我们要在区间 [l, r] 中选一个数字 x 来尝试。

  • 如果选中了，那就花费 $0。
  • 如果没选中，就会进入更小的区间 [l, x-1] 或 [x+1, r]，并且要额外支付 $x。

• 所以，公式就是：

dp[l][r] = min (  x + max(dp[l][x-1], dp[x+1][r])  )   for all l <= x <= r

这就好像在选一个“分界点”，我们要让“最坏情况的开销”尽可能小。

题解代码分析

下面我们来看看 Swift 实现。代码不仅可运行，还会加上注释来解释每一步逻辑。

import Foundation

class Solution {
    func getMoneyAmount(_ n: Int) -> Int {
        // dp[i][j] 表示在区间 [i, j] 内保证获胜的最小现金
        var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: n + 2), count: n + 2)
        
        // 区间长度从小到大逐步求解
        for len in 2...n { // 至少区间长度 2 才需要计算
            for start in 1...(n - len + 1) {
                let end = start + len - 1
                dp[start][end] = Int.max
                // 尝试在 [start, end] 内选择一个数字作为第一次猜测
                for x in start...end {
                    let cost = x + max(dp[start][x - 1], dp[x + 1][end])
                    dp[start][end] = min(dp[start][end], cost)
                }
            }
        }
        return dp[1][n]
    }
}

代码解析

1. dp 初始化
   我们用了一个二维数组 dp[start][end]，默认值是 0，表示如果只有一个数时，直接猜就行，不需要花钱。

2. 外层循环
   区间长度从 2 开始，因为单个数不需要计算。

3. 内层循环
   start 表示区间起点，end 表示终点。我们枚举每个可能的 x，作为当前要猜的数。

4. 状态转移

   • x 是当前猜的数，代价是 x。
   • 如果猜错了，就会进入两边的区间：[start, x-1] 或 [x+1, end]。
   • 由于我们要考虑最坏情况，所以取 max(dp[start][x-1], dp[x+1][end])。
   • 最后再取所有可能的 x 中的最小值。

这样一步步填表，就能得到 dp[1][n]，即从 1 到 n 的最优结果。

示例测试及结果

我们来写一个小 Demo 测试一下：

let solution = Solution()

print(solution.getMoneyAmount(1))  // 输出: 0
print(solution.getMoneyAmount(2))  // 输出: 1
print(solution.getMoneyAmount(10)) // 输出: 16

输出结果：

0
1
16

和题目给出的示例完全一致。

这就证明我们的代码逻辑是正确的。

时间复杂度

在这段代码中：

• 我们有三层循环：

  • 外层区间长度 O(n)
  • 内层区间起点 O(n)
  • 枚举猜测位置 O(n)

• 总体复杂度是 O(n³)。

因为 n 最大是 200，O(200³) = 8,000,000，完全可以接受。

空间复杂度

我们用到了一个二维数组 dp，大小是 (n+1) × (n+1)。
所以空间复杂度是 O(n²)。

总结

这道题其实考察的是 动态规划中的区间型问题。
它和我们日常工作中做“最坏情况预算”非常相似：

• 如果我们只考虑“最好情况”，策略就可能在某些情况下失效。
• 但如果我们始终保证“最坏情况不超过某个范围”，那就能稳稳获胜。

通过这题你可以更直观地理解动态规划的核心思想：
拆分问题 + 保存子问题结果 + 在所有选择中取最优解。

而且，别小看这个小游戏，背后的逻辑和我们做风险管理、测试覆盖率优化、甚至产品上线预算都很相似：你要想办法找到一个“最稳的中间策略”，让自己始终立于不败之地。