【数据结构】哈希
unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高,是因为其底层使用了哈希结构。
unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高,是因为其底层使用了哈希结构。
1. 哈希概念
顺序结构以及平衡树中,元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系,因此在查找一个元素时,必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N),平衡树中为树的高度,即 O( l o g 2 N log_2 N log2N),搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。
理想的搜索方法:可以不经过任何比较,一次直接从表中得到要搜索的元素。
如果构造一种存储结构,通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系,那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。
当向该结构中:
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插入元素
根据待插入元素的关键码,以此函数计算出该元素的存储位置,并按此位置进行存放;
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搜索元素
对元素的关键码进行同样的计算,把求得的函数值当作元素的存储位置,在结构中按此位置取元素比较,若关键码相等,则搜索成功。
该方式即为哈希(散列)方法,哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数,构造出来的结构称为哈希表(Hash Table)(或者散列表)。
例如:数据集合 { 1, 7, 6, 4, 5, 9 };
哈希函数设置为:hash(key) = key % capacity;
capacity 为存储元素底层空间总的大小。
用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较,因此搜索的速度比较快。
问题:按照上述哈希方式,向集合中插入元素 44,会出现什么问题?
2. 哈希冲突
对于两个数据元素的关键字 k i k_i ki 和 k j k_j kj(i != j),有 k i k_i ki != k j k_j kj,但有:Hash( k i k_i ki) == Hash( k j k_j kj),即:不同关键字通过相同哈希函数计算出相同的哈希地址,这种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。
把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。
发生哈希冲突该如何处理呢?
3. 哈希函数
引起哈希冲突的一个原因可能是:哈希函数设计不够合理。
哈希函数设计原则:
- 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码,而如果散列表允许有 m 个地址时,其值域必须在 0 到 m - 1 之间;
- 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中;
- 哈希函数应该比较简单。
常见哈希函数:
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直接定址法(常用)
取关键字的某个线性函数为散列地址:
Hash (Key) = A * Key + B
;
优点:简单、均匀
缺点:需要事先知道关键字的分布情况;
使用场景:适合查找比较小且连续的情况。 -
除留余数法(常用)
设散列表中允许的地址数为 m,取一个不大于 m,但最接近或者等于 m 的质数 p 作为除数,按照哈希函数:
Hash (Key) = Key % p (p <= m)
,将关键码转换成哈希地址。 -
平方取中法(了解)
假设关键字为 1234,对它平方就是 1522756,抽取中间的 3 位 227 作为哈希地址;
再比如关键字为 4321,对它平方就是 18671041,抽取中间的 3 位 671(或 710)作为哈希地址;
平方取中法比较适合:不知道关键字的分布,而位数又不是很大的情况。 -
折叠法(了解)
折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些),然后将这几部分叠加求和,并按照散列表表长,取后几位作为散列地址;
折叠法适合事先不需要知道关键字的分布,适合关键字位数比较多的情况。 -
随机数法(了解)
选择一个随机函数,取关键字的随机函数值为它的哈希地址,即
Hash (Key) = random(Key)
,其中 random 为随机数函数;
通常应用于关键字长度不等时采用此法。 -
数学分析法(了解)
设有 n 个 d 位数,每一位可能有 r 种不同的符号,这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同,可能在某些位上分布比较均匀,每种符号出现的机会均等,在某些位上分布不均匀,只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小,选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。例如:
假设要存储某家公司员工登记表,如果用手机号作为关键字,那么极有可能前 7 位都是相同的,那么我们可以选择后面的四位作为散列地址,如果这样的抽取工作还容易出现冲突,还可以对抽取出来的数字进行反转(如 1234 改成 4321)、右环移位(如 1234 改成 4123)、左环移位、前两数与后两数叠加(如 1234 改成 12+34=46)等方法;
数字分析法通常适合处理关键字位数比较多的情况。
注意:哈希函数设计的越精妙,产生哈希冲突的可能性就越低,但是无法避免哈希冲突。
4. 哈希冲突解决
解决哈希冲突两种常见的方法是:闭散列和开散列。
4.1 闭散列
闭散列:也叫开放定址法,当发生哈希冲突时,如果哈希表未被装满,说明哈希表中必然还有空位置,那么可以把 key 存放到冲突位置中的“下一个”空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢?
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线性探测
比如上面的场景:
现在需要插入元素 44,先通过哈希函数计算哈希地址,hashAddr 为 4,因此 44 理论上应该插在该位置,但是该位置已经放了值为 4 的元素,即发生哈希冲突。
线性探测:从发生冲突的位置开始,依次向后探测,直到寻找到下一个空位置为止。
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插入
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通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置;
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如果该位置中没有元素则直接插入新元素,如果该位置中有元素发生哈希冲突,使用线性探测找到下一个空位置,插入新元素。
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删除
采用闭散列处理哈希冲突时,不能随便物理删除哈希表中已有的元素,若直接删除元素会影响其他元素的搜索。比如删除元素 4,如果直接删除掉,44 查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。
// 哈希表每个空间给个标记 // EMPTY此位置空, EXIST此位置已经有元素, DELETE元素已经删除 enum State { EMPTY, EXIST, DELETE };
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线性探测的实现
// 注意:假如实现的哈希表中元素唯一,即key相同的元素不再进行插入 // 为了实现简单,此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起 template<class K, class V> class HashTable { struct Elem { pair<K, V> _val; State _state; }; public: HashTable(size_t capacity = 3) : _ht(capacity), _size(0) { for (size_t i = 0; i < capacity; ++i) _ht[i]._state = EMPTY; } bool Insert(const pair<K, V>& val) { // 检测哈希表底层空间是否充足 // _CheckCapacity(); size_t hashAddr = HashFunc(key); // size_t startAddr = hashAddr; while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY) { if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key) return false; hashAddr++; if (hashAddr == _ht.capacity()) hashAddr = 0; /* 转一圈也没有找到,注意:动态哈希表,该种情况可以不用考虑,哈希表中元素个数到达一定的数量, 哈希冲突概率会增大,需要扩容来降低哈希冲突,因此哈希表中元素是不会存满的 if(hashAddr == startAddr) return false; */ } // 插入元素 _ht[hashAddr]._state = EXIST; _ht[hashAddr]._val = val; _size++; return true; } int Find(const K& key) { size_t hashAddr = HashFunc(key); while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY) { if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key) return hashAddr; hashAddr++; } return hashAddr; } bool Erase(const K & key) { int index = Find(key); if (-1 != index) { _ht[index]._state = DELETE; _size++; return true; } return false; } size_t Size()const; bool Empty() const; void Swap(HashTable<K, V, HF>& ht); private: size_t HashFunc(const K& key) { return key % _ht.capacity(); } private: vector<Elem> _ht; size_t _size; };
思考:哈希表什么情况下进行扩容?如何扩容?
void CheckCapacity() { if (_size * 10 / _ht.capacity() >= 7) { HashTable<K, V, HF> newHt(GetNextPrime(ht.capacity)); for (size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i) { if (_ht[i]._state == EXIST) newHt.Insert(_ht[i]._val); } Swap(newHt); } }
线性探测优点:实现非常简单;
线性探测缺点:一旦发生哈希冲突,所有的冲突连在一起,容易产生数据“堆积”,即:不同关键码占据了可利用的空位置,使得寻找某关键码的位置需要多次比较,导致搜索效率降低,如何缓解?
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二次探测
线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块,这与其找下一个空位置有关系,因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找,因此二次探测为了避免该问题,找下一个空位置的方法为: H i H_i Hi = ( H 0 H_0 H0 + i 2 i^2 i2 ) % m。其中:i = 1, 2, 3…, H 0 H_0 H0 是通过散列函数 Hash(x) 对关键码 key 进行计算得到的位置,m 是表的大小。
对于上面案例,如果要插入 44,产生冲突,使用二次探测解决后的情况为:
研究表明:当表的长度为质数且表装载因子 a 不超过 0.5 时,新的表项一定能够插入。而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置,就不会存在表满的问题。在搜索时可以不考虑表装满的情况,但在插入时必须确保表的装载因子 a 不超过 0.5,如果超出必须考虑增容。
因此:闭散列最大的缺陷就是空间利用率比较低,这也是哈希的缺陷。
4.2 开散列
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开散列的概念
开散列法又叫链地址法(开链法),首先对关键码集合用散列函数计算散列地址,具有相同地址的关键码归于同一子集合,每一个子集合称为一个桶,各个桶中的元素通过一个单链表链接起来,各链表的头节点存储在哈希表中。
个人理解:哈希桶 = 顺序表 + 链表 + 哈希算法;
从上图可以看出,开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。
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开散列实现
template<class V> struct HashBucketNode { HashBucketNode(const V& data) : _pNext(nullptr), _data(data) {} HashBucketNode<V>* _pNext; V _data; }; // 本文所实现的哈希桶中key是唯一的 template<class V> class HashBucket { typedef HashBucketNode<V> Node; typedef Node* PNode; public: HashBucket(size_t capacity = 3) : _size(0) { _ht.resize(GetNextPrime(capacity), nullptr); } // 哈希桶中的元素不能重复 PNode* Insert(const V& data) { // 确认是否需要扩容。。。 // _CheckCapacity(); // 1. 计算元素所在的桶号 size_t bucketNo = HashFunc(data); // 2. 检测该元素是否在桶中 PNode pCur = _ht[bucketNo]; while (pCur) { if (pCur->_data == data) return pCur; pCur = pCur->_pNext; } // 3. 插入新元素 pCur = new Node(data); pCur->_pNext = _ht[bucketNo]; _ht[bucketNo] = pCur; _size++; return pCur; } // 删除哈希桶中为data的元素(data不会重复),返回删除元素的下一个节点 PNode* Erase(const V& data) { size_t bucketNo = HashFunc(data); PNode pCur = _ht[bucketNo]; PNode pPrev = nullptr, pRet = nullptr; while (pCur) { if (pCur->_data == data) { if (pCur == _ht[bucketNo]) _ht[bucketNo] = pCur->_pNext; else pPrev->_pNext = pCur->_pNext; pRet = pCur->_pNext; delete pCur; _size--; return pRet; } } return nullptr; } PNode* Find(const V& data); size_t Size()const; bool Empty()const; void Clear(); bool BucketCount()const; void Swap(HashBucket<V, HF>& ht; ~HashBucket(); private: size_t HashFunc(const V& data) { return data % _ht.capacity(); } private: vector<PNode*> _ht; size_t _size; // 哈希表中有效元素的个数 };
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开散列增容
桶的个数是一定的,随着元素的不断插入。每个桶中元素的个数不断增多,极端情况下,可能会导致一个桶中链表节点非常多,会影响哈希表的性能,因此在一定条件下需要对哈希表进行增容,那该条件怎么确认呢?开散列最好的情况是:每个哈希桶中刚好挂一个节点,再继续插入元素时,每一次都会发生哈希冲突,因此,在元素个数刚好等于桶的个数时,可以给哈希表增容。
void _CheckCapacity() { size_t bucketCount = BucketCount(); if (_size == bucketCount) { HashBucket<V, HF> newHt(bucketCount); for (size_t bucketIdx = 0; bucketIdx < bucketCount; ++bucketIdx) { PNode pCur = _ht[bucketIdx]; while (pCur) { // 将该节点从原哈希表中拆出来 _ht[bucketIdx] = pCur->_pNext; // 将该节点插入到新哈希表中 size_t bucketNo = newHt.HashFunc(pCur->_data); pCur->_pNext = newHt._ht[bucketNo]; newHt._ht[bucketNo] = pCur; pCur = _ht[bucketIdx]; } } newHt._size = _size; this->Swap(newHt); } }
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开散列的思考
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只能存储 key 为整型的元素,其他类型怎么解决?
// 哈希函数采用除留余数法,被模的key必须要为整形才可以处理,此处提供将key转化为整形的方法 // 整形数据不需要转化 template<class T> class DefHashF { public: size_t operator()(const T& val) { return val; } }; // key为字符串类型,需要将其转化为整形 class Str2Int { public: size_t operator()(const string& s) { const char* str = s.c_str(); unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313 unsigned int hash = 0; while (*str) { hash = hash * seed + (*str++); } return (hash & 0x7FFFFFFF); } }; // 为了实现简单,此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起 template<class V, class HF> class HashBucket { // …… private: size_t HashFunc(const V& data) { return HF()(data.first) % _ht.capacity(); } };
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除留余数法,最好模一个素数,如何每次快速取一个类似两倍关系的素数?
size_t GetNextPrime(size_t prime) { const int PRIMECOUNT = 28; static const size_t primeList[PRIMECOUNT] = { 53ul, 97ul, 193ul, 389ul, 769ul, 1543ul, 3079ul, 6151ul, 12289ul, 24593ul, 49157ul, 98317ul, 196613ul, 393241ul, 786433ul, 1572869ul, 3145739ul, 6291469ul, 12582917ul, 25165843ul, 50331653ul, 100663319ul, 201326611ul, 402653189ul, 805306457ul, 1610612741ul, 3221225473ul, 4294967291ul }; size_t i = 0; for (; i < PRIMECOUNT; ++i) { if (primeList[i] > prime) return primeList[i]; } return primeList[i]; }
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开散列与闭散列比较
应用链地址法处理溢出,需要增设链接指针,似乎增加了存储开销。事实上:由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率,如二次探测法要求装载因子 a <= 0.7,而表项所占空间又比指针大得多,所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。
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