AVL树实现
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。AVL树是最先发明的是平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树
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我们前面已经说过了搜索二叉树，和map，set的用法，我们通过学习可以知道， 搜索二叉树的实现还是有一些问题的，比如果所有值都在一条线上，拿遍历的效率就低；也就是搜索二叉树不好控制，这里引进AVL树，在二叉搜索树之后，优化而成的；
在之后会在学习红黑树，那才是map set的真正的底层；
AVL的简介
- AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
- AVL树是最先发明的是平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
- AVL树实现这⾥我们引入一个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡。
- AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN) （虽然但是，也是接近，但是计算机的计算速度是很快的相差的拿几百几千也是可以忽略为 logN），相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0。
AVL树的实现
AVL树的结构
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode {
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left = nullptr;
AVLTreeNode<K, V>* _right = nullptr;
// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到
AVLTreeNode<K, V>* _parent = nullptr;
int _bf = 0; // balance factor
AVLTreeNode(pair<K, V> kv)
:_left()
,_right()
,_parent()
,_bf()
,_kv(kv)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree {
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
……………………
public:
Node*_root;
}AVL树的插⼊（平衡因子的方法）
大致过程：
- 平衡因子 = 右子树⾼度 - 左子树⾼度
- 只有子树⾼度变化才会影响当前结点平衡因子。
- 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因⼦++，新增结点parent的左子树，parent平衡因⼦--
- parent所在子树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停止条件：
- 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
- 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
- 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理。
- 旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。（旋转后，parent 平衡因子是0）
过程演示
更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理
更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束：
最坏更新到根停⽌：
插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.second > kv.second)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.second < kv.second)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.second > cur->_kv.second)
{
parent->_left = cur;
}
else if (parent->_kv.second < cur->_kv.second)
{
parent->_right = cur;
}
else {
return false;
}
// 链接父亲
cur->_parent = parent;
//控制平衡
//改变平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_bf++;
}
else if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else {
assert(false);
}
}
return true;
}会看到。插入出现了旋转，那么旋转怎么实现呢？
旋转
旋转的原则
- 保持搜索树的规则
- 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
- 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
右单旋
- 下面的图片展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。
这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，但都属于这种形态
解读：
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤：
- 因为5 < b⼦树的值 < 10，
- 将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，
- 5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，
控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10是整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
右单旋代码实现
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}左单旋
- 下面图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。
这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上⾯右旋类似这里就不在多说
解读：
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤：
- 因为10 < b⼦树的值 < 15，
- 将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，
- 15变成这棵树新的根，
符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转
原则。如果插⼊之前10是整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
左单旋代码实现
void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) subRL->_parent = parent; Node* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parentParent == nullptr) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parent == parentParent->_left) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; } parent->_bf = subR->_bf = 0; }
左右双旋
- 下面的两个图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。
- 右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边⾼，但是对于5是右边高，需要⽤两次旋转才能解决，
- 以5为旋转点进⾏⼀个左单旋
- 以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
- 上面两个图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b的子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，
- 因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察上图的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
- h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
- h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
- h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
具体过程
左右双旋代码实现
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}右左双旋
先把左右双旋，了解明白那么右左双旋 就很好明白了 ！！！！！
跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树。
因为：
- 我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋
- 右单旋需要动b树中的右⼦树。
b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
- h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
- h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
- h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
右左双旋代码实现
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}AVL树的查找
那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)
比较十分接近于完全二叉树；
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else {
return cur;
}
}
return nullptr;
}AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。
注意：
不能检查 节点的 bf 是否 大于-2 小于 2；毕竟这和 自己该自己的卷子差不多；要用算的左子树高度减右子树高度 和 bf 对比；
AVL树的删除
想要了解的同学可参考：《殷⼈昆 数据结构：⽤⾯向对象⽅法与C++语⾔描述》中讲解。
这里就不介绍了0；
int Height()
{
return _Height(_root);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
private:
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int dif = rightHeight - leftHeight;
if (dif != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << dif << ":" << root->_bf << endl;
return false;
}
if (abs(dif) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
return false;
}
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << ":" << root->_bf << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int HeightL = _Height(root->_left);
int HeightR = _Height(root->_right);
return HeightL > HeightR ? HeightL + 1 : HeightR + 1;
}
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