【C++】38：树和二叉树
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目录
5.4 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
5.5 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
5.6 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
5.7 572. 另一棵树的子树 - 力扣（LeetCode）
7.1 606. 根据二叉树创建字符串 - 力扣（LeetCode）
7.2 102. 二叉树的层序遍历 - 力扣（LeetCode）
7.3 107. 二叉树的层序遍历 II - 力扣（LeetCode）
7.4 236. 二叉树的最近公共祖先 - 力扣（LeetCode）
7.5 155. 将二叉搜索树转化为排序的双向链表 - 力扣（LeetCode）
7.6 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
7.7 106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
7.8 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
7.9 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
7.10 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
一、树概念及结构
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、….Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m）又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 树的相关概念
- 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6
- 叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I.等结点为叶结点
- 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G.等结点为分支结点
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点：如上图：B是A的孩子结点
- 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点：如上图：B、C是兄弟结点
- 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次：如上图：树的高度为4
- 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、互为兄弟结点
- 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点：如上图：A是所有结点的祖先
- 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
- 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
typedef int DataType ;struct Node{struct Node * firstChild1 ; // 第一个孩子结点struct Node * pNextBrother ; // 指向其下一个兄弟结点DataType data ; // 结点中的数据域};
1.4 树在实际中的运用
表示文件系统的目录树结构
二、二叉树概念及结构
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空
- 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 现实中的二叉树
2.3 特殊的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当旦仅当其每个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.4 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
- 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1
- 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0=n2+1
- 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1).(ps：log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数）
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1.若i>0，i位置结点的双亲序号：（i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
1．某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）
A 非完全二叉树
в 堆
с 队列
D 栈
3.在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）A 383
B 384
C 385
D 386
答案：
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1.顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2.链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
typedef int BTDataType ;// 二叉链struct BinaryTreeNode{struct BinTreeNode * left ; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode * right ; // 指向当前结点右孩子BTDataType data ; // 当前结点值域}// 三叉链struct BinaryTreeNode{struct BinTreeNode * parent ; // 指向当前结点的双亲struct BinTreeNode * left ; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode * right ; // 指向当前结点右孩子BTDataType data ; // 当前结点值域} ；
三、二叉树顺序结构及实现
3.1 二叉树的顺序实现
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
四、二叉树链式结构及实现
4.1 前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二又树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二又树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
typedef int BTDataType ;typedef struct BinaryTreeNode{BTDataType _data ;struct BinaryTreeNode * _left ;struct BinaryTreeNode * _right ;} BTNode ;BTNode * CreatBinaryTree (){BTNode * node1 = BuyNode ( 1 );BTNode * node2 = BuyNode ( 2 );BTNode * node3 = BuyNode ( 3 );BTNode * node4 = BuyNode ( 4 );BTNode * node5 = BuyNode ( 5 );BTNode * node6 = BuyNode ( 6 );node1 -> _left = node2 ;node1 -> _right = node4 ;node2 -> _left = node3 ;node4 -> _left = node5 ;node4 -> _right = node6 ;return node1 ;}
注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二又树的概念，二叉树是：
4.2 二叉树的遍历
4.2.1前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历（Traversal）是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的结点进行相应的操作，并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二又树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
- 前序遍历（PreorderTraversal亦称先序遍历）一一访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
- 中序遍历(InorderTraversal)一—访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
- 后序遍历（PostorderTraversal)一一访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Rightsubtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，可自己动手绘制。
前序遍历递归图解：
前序遍历结果：123456
中序遍历结果：321546
后序遍历结果：325641
4.2.2 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
五、二叉树基础oj练习
5.1 965. 单值二叉树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
bool isUnivalTree(TreeNode* root)
{
if(root==nullptr)
return true;
if(root->left)
{
if(root->left->val!=root->val)
{
return false;
}
}
if(root->right)
{
if(root->right->val!=root->val)
{
return false;
}
}
return isUnivalTree(root->left)&&isUnivalTree(root->right);
}
};5.2 100. 相同的树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
bool isSameTree(TreeNode* p, TreeNode* q)
{
if(p==nullptr&&q==nullptr)
return true;
else if(p!=nullptr&&q!=nullptr)
{
if(p->val!=q->val)
return false;
else
return isSameTree(p->left,q->left)
&& isSameTree(p->right,q->right);
}else
return false;
}
};5.3 101. 对称二叉树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
bool _isSymmetric(TreeNode* p,TreeNode* q)
{
if(p==nullptr&&q==nullptr)
return true;
else if(p&&q)
{
if(p->val!=q->val)
{
return false;
}else
{
return _isSymmetric(p->left,q->right)&&_isSymmetric(p->right,q->left);
}
}else
{
return false;
}
}
bool isSymmetric(TreeNode* root)
{
if(root==nullptr)
return true;
return _isSymmetric(root->left,root->right);
}
};5.4 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
void preorder(TreeNode* root,vector<int>& ret)
{
if(root==nullptr)
return ;
ret.push_back(root->val);
preorder(root->left,ret);
preorder(root->right,ret);
}
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> ret;
preorder(root,ret);
return ret;
}
};5.5 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
void inorder(TreeNode* root,vector<int>& ret)
{
if(root==nullptr)
return;
inorder(root->left,ret);
ret.push_back(root->val);
inorder(root->right,ret);
}
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> ret;
inorder(root,ret);
return ret;
}
};5.6 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
void postorder(TreeNode* root,vector<int>& ret)
{
if(root==nullptr)
return ;
postorder(root->left,ret);
postorder(root->right,ret);
ret.push_back(root->val);
}
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> ret;
postorder(root,ret);
return ret;
}
};5.7 572. 另一棵树的子树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
bool _isSubTree(TreeNode* root,TreeNode* subRoot)
{
if(root==nullptr&&subRoot==nullptr)
return true;
else if(root==nullptr||subRoot==nullptr)
{
return false;
}
if(root->val!=subRoot->val)
return false;
return _isSubTree(root->left,subRoot->left)&&_isSubTree(root->right,subRoot->right);
}
bool isSubtree(TreeNode* root, TreeNode* subRoot)
{
if(root==nullptr)
return false;
if(isSubtree(root->left,subRoot) || isSubtree(root->right,subRoot))
return true;
return _isSubTree(root,subRoot);
}
};六、二叉树的创建和销毁
6.1 二叉树遍历_牛客题霸_牛客网
#include <iostream>
#include<string>
using namespace std;
struct Node
{
char data;
struct Node* left;
struct Node* right;
Node(char ch)
:data(ch)
,left(nullptr)
,right(nullptr)
{}
};
Node* createtree(string& s,int& i)
{
if(s[i]=='#')
{
i++;
return nullptr;
}
Node* root= new Node(s[i]);
i++;
root->left=createtree(s,i);
root->right=createtree(s,i);
return root;
}
void inorder(Node* root)
{
if(root==nullptr)
return ;
inorder(root->left);
cout<<root->data<<" ";
inorder(root->right);
}
int main() {
string s;
cin>>s;
int i=0;
Node* head=createtree(s,i);
inorder(head);
cout<<endl;
}
七、二叉树进阶oj练习
7.1 606. 根据二叉树创建字符串 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
string tree2str(TreeNode* root)
{
if(root==nullptr)
return "";
string ret;
ret+=to_string(root->val);
if(root->left||root->right)
{
ret+="(";
ret+=tree2str(root->left);
ret+=")";
}
if(root->right)
{
ret+="(";
ret+=tree2str(root->right);
ret+=")";
}
return ret;
}
};7.2 102. 二叉树的层序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root)
{
vector<vector<int>> ret;
if(root==nullptr)
return ret;
queue<TreeNode*> q;
q.push(root);
size_t sz=q.size();
while(!q.empty())
{
vector<int> v;
for(int i=0;i<sz;i++)
{
auto front=q.front();
q.pop();
v.push_back(front->val);
if(front->left)
q.push(front->left);
if(front->right)
q.push(front->right);
}
ret.push_back(v);
sz=q.size();
}
return ret;
}
};7.3 107. 二叉树的层序遍历 II - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrderBottom(TreeNode* root)
{
vector<vector<int>> ret;
if(root==nullptr)
return ret;
queue<TreeNode*> q;
q.push(root);
size_t sz=q.size();
while(!q.empty())
{
vector<int> v;
for(size_t i=0;i<sz;i++)
{
auto front=q.front();
q.pop();
v.push_back(front->val);
if(front->left)
q.push(front->left);
if(front->right)
q.push(front->right);
}
ret.push_back(v);
sz=q.size();
}
reverse(ret.begin(),ret.end());
return ret;
}
};7.4 236. 二叉树的最近公共祖先 - 力扣（LeetCode）
7.4.1 方案一
class Solution {
public:
bool find(TreeNode* x,TreeNode* root)
{
if(root==nullptr)
return false;
return x==root?true:(find(x,root->left) || find(x,root->right));
}
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
{
if(root==p||root==q)
return root;
bool pinleft=find(p,root->left);
bool pinright=!pinleft;
bool qinleft=find(q,root->left);
bool qinright=!qinleft;
if(qinleft&&pinleft)
{
return lowestCommonAncestor(root->left,p,q);
}else if(qinright&&pinright)
{
return lowestCommonAncestor(root->right,p,q);
}else
{
return root;
}
}
};7.4.2 方案二
class Solution {
public:
bool GetPath(TreeNode* root,TreeNode* x,stack<TreeNode*>& path)
{
if(root==nullptr)
return false;
path.push(root);
if(root==x)
return true;
if(GetPath(root->left,x,path))
return true;
if(GetPath(root->right,x,path))
return true;
path.pop();
return false;
}
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
{
stack<TreeNode*> pPath;
stack<TreeNode*> qPath;
GetPath(root,p,pPath);
GetPath(root,q,qPath);
while(pPath.size()!=qPath.size())
{
if(pPath.size()>qPath.size())
{
pPath.pop();
}else
{
qPath.pop();
}
}
while(pPath.top()!=qPath.top())
{
pPath.pop();
qPath.pop();
}
return qPath.top();
}
};7.5 155. 将二叉搜索树转化为排序的双向链表 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
void inorder(Node* root,Node*& prev)
{
if(root==nullptr)
return;
inorder(root->left,prev);
root->left=prev;
if(prev)
prev->right=root;
prev=root;
inorder(root->right,prev);
}
Node* treeToDoublyList(Node* root)
{
if(root==nullptr)
return nullptr;
Node* head=root;
while(head->left)
{
head=head->left;
}
Node* prev=nullptr;
inorder(root,prev);
head->left=prev;
prev->right=head;
return head;
}
};7.6 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
TreeNode* build(vector<int>& preorder,int& i,vector<int>& inorder,int inbegin,int inend)
{
if(inbegin>inend)
return nullptr;
TreeNode* root=new TreeNode(preorder[i]);
int rooti=inbegin;
while(rooti<=inend)
{
if(inorder[rooti]==preorder[i])
break;
rooti++;
}
i++;
//[inbegin,rooti-1] rooti [rooti+1,inend]
root->left=build(preorder,i,inorder,inbegin,rooti-1);
root->right=build(preorder,i,inorder,rooti+1,inend);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder)
{
if(preorder.size()==0)
return nullptr;
int i=0;
return build(preorder,i,inorder,0,inorder.size()-1);
}
};7.7 106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
TreeNode* build(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder,int& posti,int inbegin,int inend)
{
if(inbegin>inend)
return nullptr;
TreeNode* root=new TreeNode(postorder[posti]);
int rooti=inbegin;
while(rooti<=inend)
{
if(inorder[rooti]==postorder[posti])
{
break;
}else
{
rooti++;
}
}
posti--;
//[inbegin,rooti-1] rooti [rooti+1,inend]
root->right=build(inorder,postorder,posti,rooti+1,inend);
root->left=build(inorder,postorder,posti,inbegin,rooti-1);
return root;
}
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
int posti=postorder.size()-1;
return build(inorder,postorder,posti,0,inorder.size()-1);
}
};7.8 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> v;
TreeNode* cur=root;
stack<TreeNode*> s;
while(cur||!s.empty())
{
while(cur)
{
v.push_back(cur->val);
s.push(cur);
cur=cur->left;
}
TreeNode* top=s.top();
s.pop();
cur=top->right;
}
return v;
}
};7.9 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> v;
TreeNode* cur=root;
stack<TreeNode*> st;
while(cur||!st.empty())
{
while(cur)
{
st.push(cur);
cur=cur->left;
}
TreeNode* top=st.top();
v.push_back(top->val);
st.pop();
cur=top->right;
}
return v;
}
};7.10 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root)
{
vector<int> v;
TreeNode* cur=root;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* prev=nullptr;
while(cur|| !st.empty())
{
while(cur)
{
st.push(cur);
cur=cur->left;
}
TreeNode* top=st.top();
if(top->right==nullptr || prev==top->right)
{
v.push_back(top->val);
prev=top;
st.pop();
}else
{
cur=top->right;
}
}
return v;
}
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