目录

1A：煤球数目（3分填空_简单枚举）

2B：生日蜡烛（5分填空_简单枚举）

3C：凑算式（11分填空_全排列）

4D：快速排序（9分代码填空）

5E：抽签（13分代码填空）

6F：方格填数（15分填空_全排列）

7G：剪邮票（19分填空）

8H：四平方和（21分编程）

解析代码（循环）

9I：交换瓶子（23分编程）

解法一及代码（贪心）

解法二及代码（图论）

10J：最大比例（31分编程）

解析代码（数论）

1A：煤球数目（3分填空_简单枚举）

题目描述：

有一堆煤球，堆成三角棱锥形。具体：
第一层放1个，
第二层3个（排列成三角形），
第三层6个（排列成三角形），
第四层10个（排列成三角形），…
如果一共有100层，共有多少个煤球？
请填表示煤球总数目的数字。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

题目分析：简单的循环枚举。答案171700

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int sum = 0, res = 0; // 每一层的总数，和全部层的总数
	for (int i = 1; i <= 100; ++i)
	{
		sum += i;
		res += sum;
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

2B：生日蜡烛（5分填空_简单枚举）

题目描述：

某君从某年开始每年都举办一次生日party，并且每次都要吹熄与年龄相同根数的蜡烛。
现在算起来，他一共吹熄了236根蜡烛。
请问，他从多少岁开始过生日party的？
请填写他开始过生日party的年龄数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

题目解析：

        该题目暴力求出，两层循环，第一层表示从多少岁过生日，第二层表示当前多少岁了。满足条件就打印。答案26

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	for (int i = 1; i <= 100; ++i)
	{
		int res = 0; // 总计吹的总数
		for (int j = i; j <= 100; ++j) // 从第几岁开始过生日
		{
			res += j;
			if (res == 236)
				cout << i << endl; // 答案26
		}
	}
	return 0;
}

3C：凑算式（11分填空_全排列）

题目描述：

       B       DEF
A +    —    +  ——— = 10
       C       GHI

题目解析：

暴力循环，直接用next_permutation(）。答案29

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	int num[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
	int cnt = 0;
	do
	{
		float a = num[0];
		float b = num[1] * 1.0 / num[2];
		float c = (num[3] * 100.0 + num[4] * 10 + num[5]) / (num[6] * 100 + num[7] * 10 + num[8]);
		if (fabs(a + b + c - 10) <= 1e-5)
		{
			cnt++;
		}
	} while (next_permutation(num, num + 9));
	cout << cnt << endl; // 答案29
	return 0;
}

4D：快速排序（9分代码填空）

题目描述：

排序在各种场合经常被用到。
快速排序是十分常用的高效率的算法。
其思想是：先选一个“标尺”，
用它把整个队列过一遍筛子，
以保证：其左边的元素都不大于它，其右边的元素都不小于它。
这样，排序问题就被分割为两个子区间。
再分别对子区间排序就可以了。
下面的代码是一种实现，请分析并填写划线部分缺少的代码。

#include <stdio.h>
void swap(int a[], int i, int j)
{
	int t = a[i];
	a[i] = a[j];
	a[j] = t;
}
int partition(int a[], int p, int r)
{
	int i = p;
	int j = r + 1;
	int x = a[p];
	while(1)
	{
		while(i<r && a[++i]<x);
		while(a[--j]>x);
		if(i>=j) break;
		swap(a,i,j);
	}
	______________________;//填空
	return j;
}
void quicksort(int a[], int p, int r)
{
	if(p<r)
	{
		int q = partition(a,p,r);
		quicksort(a,p,q-1);
		quicksort(a,q+1,r);
	}
}

int main()
{
	int i;
	int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17};
	int N = 12;
	quicksort(a, 0, N-1);
	for(i=0; i<N; i++) 
		printf("%d ", a[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

题目解析：

        快速排序算法是十大经典算法之一，填空部分的函数是用于切割，表示比当前的数小的放左边，比当前数大的放右边，然后依次对左边和右边进行排序。填空部分就是在分完之后，将当前的数进行交换位置。

答案：

  swap(a,p,j)

5E：抽签（13分代码填空）

题目描述：

X星球要派出一个5人组成的观察团前往W星。
其中：
A国最多可以派出4人。
B国最多可以派出2人。
C国最多可以派出2人。
…
那么最终派往W星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？
下面的程序解决了这个问题。
数组a[] 中既是每个国家可以派出的最多的名额。
程序执行结果为：
DEFFF
CEFFF
CDFFF
CDEFF
CCFFF
CCEFF
CCDFF
CCDEF
BEFFF
BDFFF
BDEFF
BCFFF
BCEFF
BCDFF
BCDEF
…
(以下省略，总共101行)

#include <stdio.h>
#define N 6
#define M 5
#define BUF 1024

void f(int a[], int k, int m, char b[])
{
	int i,j;
	if(k==N)
	{ 
		b[M] = 0;
		if(m==0) printf("%s\n",b);
		return;
	}
	for(i=0; i<=a[k]; i++)
	{
		for(j=0; j<i; j++) 
			b[M-m+j] = k+'A';
		______________________; //填空位置
	}
}
int main()
{
	int a[N] = {4,2,2,1,1,3};
	char b[BUF];
	f(a,0,M,b);
	return 0;
}

题目解析：

        首先理解f函数的参数表示意义，其中k表示队伍编号，m表示还需要多少人，对于这种题，判断出是递归，每进行操作一个队伍，所以递归的时候k+1，而m减少相应的人数。答案：

f(a,k+1,m-j,b)

6F：方格填数（15分填空_全排列）

题目描述：

如下的10个格子

填入0~9的数字。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）


一共有多少种可能的填数方案？


请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

题目分析：

根据下标全排列，然后用类似bfs的方法探测：

答案1580

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[10] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
int main()
{
	int res = 0;
	do
	{
		if (abs(a[0] - a[1]) != 1 && abs(a[0] - a[3]) != 1 && abs(a[0] - a[4]) != 1 && abs(a[0] - a[5]) != 1 &&
			abs(a[1] - a[2]) != 1 && abs(a[1] - a[4]) != 1 && abs(a[1] - a[5]) != 1 && abs(a[1] - a[6]) != 1 &&
			abs(a[2] - a[5]) != 1 && abs(a[2] - a[6]) != 1 &&
			abs(a[3] - a[4]) != 1 && abs(a[3] - a[7]) != 1 && abs(a[3] - a[8]) != 1 &&
			abs(a[4] - a[5]) != 1 && abs(a[4] - a[7]) != 1 && abs(a[4] - a[8]) != 1 && abs(a[4] - a[9]) != 1 &&
			abs(a[5] - a[6]) != 1 && abs(a[5] - a[8]) != 1 && abs(a[5] - a[9]) != 1 &&
			abs(a[6] - a[9]) != 1 &&
			abs(a[7] - a[8]) != 1 &&
			abs(a[8] - a[9]) != 1)
			++res;

	} while (next_permutation(a, a + 10));
	cout << res << endl; // 答案1580
	return 0;
}

7G：剪邮票（19分填空）

题目描述：

如【图1.jpg】, 有12张连在一起的12生肖的邮票。
现在你要从中剪下5张来，要求必须是连着的。
（仅仅连接一个角不算相连）
比如，【图2.jpg】，【图3.jpg】中，粉红色所示部分就是合格的剪取。
请你计算，一共有多少种不同的剪取方法。
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

题目解析：

暴力dfs，答案116

代码1：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;

int a[12] = { 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1 };

void dfs(vector<vector<int>>& m, int i, int j) {
    m[i][j] = 0;
    if (i - 1 >= 0 && m[i - 1][j] == 1) // 四个方向
        dfs(m, i - 1, j);
    if (i + 1 <= 2 && m[i + 1][j] == 1)
        dfs(m, i + 1, j);
    if (j - 1 >= 0 && m[i][j - 1] == 1)
        dfs(m, i, j - 1);
    if (j + 1 <= 3 && m[i][j + 1] == 1)
        dfs(m, i, j + 1);
}

bool check(int arr[])
{
    vector<vector<int>> map(3, vector<int>(4)); // 生成a对应的二维矩阵
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 4; j++){
            map[i][j] = arr[i * 4 + j] == 1 ? 1 : 0;
        }
    }
    // 连通性检测，如果连通块的数量为1，则是一种正确的方案
    int count = 0; // 连通块的数量
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 4; j++)
        {
            if (map[i][j] == 1)
            {
                dfs(map, i, j);
                count++;
            }
        }
    }
    return count == 1;
}

int main()
{
    int ans = 0;  // 用a数组产生全排列代表选择5个位置的邮票
    do
    {
        if (check(a))
        {
            ans++;
        }
    } while (next_permutation(a, a + 12));//全排列函数 
    cout << ans << endl;
    //cout << clock() << "ms" << endl;//看看跑了多长时间 
    return 0;
}

代码2：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 15;

int ans;
int p[N];
int e[N][N];
bool used[N];

int find(int x)
{
	if (p[x] != x)
		p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

void dfs(int u, int start)
{
	if (u == 5)
	{
		for (int i = 1; i <= 12; ++i)
		{
			p[i] = i;
		}
		for (int i = 1; i <= 12; ++i)
		{
			for (int j = 1; j <= 12; ++j)
			{
				if (e[i][j] && used[i] && used[j])
				{
					p[find(i)] = find(j);
				}
			}
		}
		int cnt = 0;
		for (int i = 1; i <= 12; ++i)
		{
			if (used[i] && p[i] == i)
			{
				cnt++;
			}
		}
		if (cnt == 1)
			++ans;
		return;
	}

	for (int i = start; i <= 12; ++i)
	{
		if (!used[i])
		{
			used[i] = true;
			dfs(u + 1, i + 1);
			used[i] = false;
		}
	}
}

int main()
{
	e[1][2] = e[1][5] = 1;
	e[2][1] = e[2][3] = e[2][6] = 1;
	e[3][2] = e[3][4] = e[3][7] = 1;
	e[4][3] = e[4][8] = 1;
	e[5][1] = e[5][6] = e[5][9] = 1;
	e[6][2] = e[6][5] = e[6][7] = e[6][10] = 1;
	e[7][3] = e[7][6] = e[7][8] = e[7][11] = 1;
	e[8][4] = e[8][7] = e[8][12] = 1;
	e[9][5] = e[9][10] = 1;
	e[10][6] = e[10][9] = e[10][11] = 1;
	e[11][7] = e[11][10] = e[11][12] = 1;
	e[12][8] = e[12][11] = 1;
	dfs(0, 1);
	cout << ans << endl; // 答案116
	return 0;
}

8H：四平方和（21分编程）

题目描述：

四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
        每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）

对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法


程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开


例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2


再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2


再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838


资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

解析代码（循环）

题目分析：

        分析：直接四层循环可能会超时，可以考虑先将两个数能构成的平方和保存在map里面，如果在前两层循环的时候，发现剩下的数并不能由两个数的平方构成，就直接continue跳过～否则就判断第三层循环，然后用sqrt(num - a * a - b * b - c * c)算出最后一个数temp，看它是否为整数，如果是整数就输出。这里三层循环+判断也能过了。哈希甚至过不了民间测试。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
	int i, j, k, p;
	int n, m;
	int o;
	cin >> n;
	int flag = 0;
	for (i = 0; i * i < n; ++i)
	{
		for (j = 0; j * j < n; ++j)
		{
			for (k = 0; k * k < n; ++k)
			{
				m = n - i * i - j * j - k * k;
				o = sqrt(m);
				if (o * o == m)
				{
					flag = 1;
					break;
				}
			}
			if (flag)
				break;
		}
		if (flag)
			break;
	}
	printf("%d %d %d %d\n", i, j, k, o);
	return 0;
}

9I：交换瓶子（23分编程）

题目描述：

有N个瓶子，编号 1 ~ N，放在架子上。

比如有5个瓶子：
2 1 3 5 4

要求每次拿起2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5

对于这么简单的情况，显然，至少需要交换2次就可以复位。

如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。

输入格式为两行：
第一行: 一个正整数N（N<10000）, 表示瓶子的数目
第二行：N个正整数，用空格分开，表示瓶子目前的排列情况。

输出数据为一行一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。

例如，输入：
5
3 1 2 5 4

程序应该输出：
3

再例如，输入：
5
5 4 3 2 1程序应该输出：
2


资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms

解法一及代码（贪心）

        贪心：如果第 i 个位置的数不是 i （假设为x），那么就直接将这个数与第 x 个位置的数相交换：b[x] = x b[i] = b[x];这样每次操作一定可以至少让一个瓶子回到它原本的位置。

        每一次都从第一个数开始遍历，如果就不符合条件的数就交换，时间复杂度O（N^2），本题的数据范围是1≤N≤10000，显然是可以过的

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int b[N];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d", &b[i]);
	}
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			if (b[j] != j)
			{
				cnt++;
				int idx = b[j];
				b[j] = b[b[j]];
				b[idx] = idx;
			}
		}
	}
	cout << cnt << endl;
	return 0;
}

解法二及代码（图论）

        转化成图论的问题，数组的每个位置都可以看成是一个环(因为每一个位置必然指向一个位置，且有一个位置指向它）我们想把环的数量变成n个，也就是每一个位置的“指向”都指向自己。

        那么对于任意一个环，交换他们中的 任意两个“指向” 的位置，其产生的影响必然是裂成两个环。而交换不同环 中的 任意两个“指向”的位置，其产生的影响必然是合并两个环。

        此题既可以转化成：“求输入数组构成环的数量k”，每次交换操作至多可以使环的数量+1，所以，最少交换次数就是：n-k；

        那环的数量如何求？可以开一个bool数组来记录每个位置是否遍历过。如果找到了一个没有遍历过的位置就说明找到了一个新的环，cnt++，并且循环这个环并且标记所有位置，直到回到头部的位置。       

根据第一个样例

        1 2 3 4 5

        ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

        2 1 3 5 4

第一行是原位置，第二行是题目给出的瓶子编号，根据映射关系可以构成一张图。

        可以看出上图中有三个环，那么如果瓶子排好序之后，一定是五个自环的关系。那么如何移动瓶子和环的关系又是什么呢？如果交换环内的点：

假设交换最上方的环内的点 

  映射关系

                      从                    变为

                1 2 3 4                1 2 3 4

                2 3 4 1                2 1 4 3

根据映射关系可见只是交换了一个瓶子，一个环变为了两个环，可见每次在环内交换瓶子，是会导致环的数量增加 1 的。

        继续看上图，如果我们上一步撤销操作（再把瓶子交换回去），那么就会从两个环变成一个环，可见在两个环之间交换瓶子，是会导致环的数量减少 1 的。

        假设开始有 k 个环， n 个瓶子， 那么根据第一条推论，就可知只需要每次在环内操作 n - k 次就可以让环数变为 n，即题中所求答案！

        那么我们只需要求出环的数量 k，就可以求出最后的答案，求环的数量只需要遍历一次数组，时间复杂度为O（N）。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n;
int b[N];
bool st[N];
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		cin >> b[i];

	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (!st[i])
		{
			++cnt;//判环个数
			for (int j = i; !st[j]; j = b[j])
			{
				st[j] = true;
			}
		}
	}
	printf("%d\n", n - cnt);//次数=数组元素总个数-环个数
	return 0;
}

10J：最大比例（31分编程）

题目描述：

X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：
16,24,36,54
其等比值为：3/2

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式：
第一行为数字N，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数

测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

例如，输入：
3
1250 200 32

程序应该输出：
25/4

再例如，输入：
4
3125 32 32 200

程序应该输出：
5/2

再例如，输入：
3
549755813888 524288 2

程序应该输出：
4/1

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

解析代码（数论）

​        拿到这道题目，就知道要求的是可能的等比数列中最大的比例。而且这个比例是个分数，所以我们的初步想法就是得分别计算我们的分子和分母，这是本体的第一个特点。

        其次，我们将数组排个序之后，求出每个数和数组第一个数的最大公约数，在分别计算我们的分子数组和分母数组，求出公约数这是本题的第二个特点。

        然后，我们可以想一下我们如何去求解出我们的公约数，对于这道题目我们不能仅仅只用辗转相除法，因为此式子是分式，如果运用辗转相除法就会出现错误。例如(3/2)^2,(3/2)^4,(3/2)^6这个相除的q[N]数组如果使用辗转相除法求出的就不会是(3/2)^2，而是3/2.这就是原因，所以得用辗转相减法。这是本题的第三个特点。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110;
int n;
LL x[N]; // 存放输入的数字
LL a[N], b[N]; // 分别表示分子和分母
LL gcd(LL a, LL b) // 辗转相除
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
LL gcd_sub(LL a, LL b) // 更相减损
{
	if (b > a)swap(a, b);
	if (b == 1)return a;
	return gcd_sub(b, a / b);
}
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> x[i]; // 读入
	}
	sort(x, x + n); // 排序，方便找到首项
	LL dd = 0;
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (x[i] != x[i - 1]) // 去重：重复的不计入考虑范围
		{
			dd = gcd(x[i], x[0]); // 最大公约数
			a[cnt] = x[i] / dd; // a[1]=x[i]/dd
			b[cnt] = x[0] / dd;
			cnt++;
		}
	}
	LL up = a[0], down = b[0]; //up分子 down分母
	for (int i = 1; i < cnt; i++)//分开求分子分母的指数最大公约数
	{
		up = gcd_sub(up, a[i]);
		down = gcd_sub(down, b[i]);
	}
	cout << up << "/" << down;
	return 0;
}

本篇完。

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# 蓝桥杯 # c语言 # c++ # 算法 # 数据结构
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