pole

动态系统的极点

语法

P = pole(sys)

P = pole(sys,J1,…,JN)

说明

P = pole(sys) 返回 SISO 或 MIMO 动态系统模型 sys 的极点。输出以 sys.TimeUnit 中指定的时间单位的倒数表示。动态系统的极点决定了系统的稳定性和响应。

开环线性时不变系统稳定的条件是：

• 在连续时间中，传递函数的所有极点都具有负实部。当极点在复 s 平面上可视化时，它们必须全部位于左半平面 (LHP) 才能确保稳定性。
• 在离散时间中，所有极点的幅值必须严格小于 1，即它们必须全部位于单位圆内。

P = pole(sys,J1,…,JN) 返回模型数组 sys 中下标为 (J1,…,JN) 的条目的极点 P。

示例

离散时间传递函数的极点

计算以下离散时间传递函数的极点：

$$sys(z)=\frac{0.04798z-0.0464}{z^2-1.81z+0.9048}$$

sys = tf([0.04798 0.0464],[1 -1.81 0.9048],0.1);
P = pole(sys)

P = 2×1 complex

0.9050 + 0.2929i
0.9050 - 0.2929i

对于稳定的离散系统，其所有极点的幅值必须严格小于 1，即它们必须全部位于单位圆内。本例中的极点是一对共轭复数，且位于单位圆内。因此，系统 sys 是稳定的。

传递函数的极点

计算以下传递函数的极点：

$$sys(s)=\frac{4.2s^2+0.25s-0.004}{s^2+9.6s+17}$$

sys = tf([4.2,0.25,-0.004],[1,9.6,17]);
P = pole(sys)

P = 2×1

-7.2576
-2.3424

对于稳定的连续系统，其所有极点必须具有负实部。sys 是稳定的，因为极点为负，即它们位于复平面的左半部分。

数组中模型的极点

对于此示例，加载 invertedPendulumArray.mat，其中包含一个 3×3 的倒立摆模型数组。当您沿着 sys 的单个列从一个模型移动到另一个模型时，摆的质量会发生变化；当您沿着单个行移动时，摆的长度会发生变化。使用的质量值为 100g、200g 和 300g，使用的摆长分别为 3m、2m 和 1m。

$$\begin{array}{cccc}& \text{Column 1}& \text{Column 2}& \text{Column 3}\\ \text{Row 1}& 100g,3m& 100g,2m& 100g,1m\\ \text{Row 2}& 200g,3m& 200g,2m& 200g,1m\\ \text{Row 3}& 300g,3m& 300g,2m& 300g,1m\end{array}$$

load(‘invertedPendulumArray.mat’,‘sys’);
size(sys)

3x3 传递函数数组。
每个模型有 1 个输出和 1 个输入。

查找模型数组的极点。

P = pole(sys);
P(:,:,2,1)

ans = 3×1

2.1071

-2.1642
-0.1426

P(:,:,2,1) 对应于摆锤重量为 200g、长度为 3m 的模型的极点。

输入参数

sys — 动态系统

动态系统模型 | 模型数组

动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型，或 SISO 或 MIMO 动态系统模型的数组。可以使用的动态系统包括连续时间或离散时间数值 LTI 模型，例如 tf、zpk 或 ss 模型。

如果 sys 是广义状态空间模型 genss 或不确定状态空间模型 uss，则 pole 返回 sys 的当前值或标称值的极点。如果 sys 是模型数组，则 pole 返回 sys 中下标为 J1,…,JN 的模型的极点。有关模型数组的详细信息，请参阅 Model Arrays。

J1,…,JN — 要提取极点的数组中模型的索引

正整数

要提取极点的数组中模型的索引，指定为正整数。您可以提供与 sys 中数组维度数量一样多的索引。例如，如果 sys 是一个 4×5 的动态系统模型数组，则以下命令提取数组中条目 (2,3) 的极点。

P = pole(sys,2,3);

输出参数

P — 动态系统的极点

列向量 | 数组

动态系统的极点，以标量或数组形式返回。如果 sys 是：

• 单个模型，则 P 是动态系统模型 sys 的极点列向量。
• 模型数组，则 P 是 sys 中每个模型的极点数组。

P 以 sys.TimeUnit 中指定的时间单位的倒数表示。例如，如果 sys.TimeUnit = ‘minutes’，则 pole 以 1/分钟 表示。

根据系统模型的类型，极点按以下方式计算：

• 对于状态空间模型，极点是 A 矩阵的特征值，或在描述符情况下是 A – λE 的广义特征值。
• 对于 SISO 传递函数或零极点增益模型，极点是分母的根。有关详细信息，请参阅 roots。
• 对于 MIMO 传递函数（或零极点增益模型），极点作为每个 SISO 条目的极点并集返回。如果某些 I/O 对具有公分母，则此类 I/O 对分母的根仅计数一次。

局限性

• 多重极点在数值上是敏感的，无法高精度计算。重数为 m 的极点 λ 通常会导致计算出的极点分布在以 λ 为中心、半径约为 $$\rho \approx {\epsilon }^{1/m}$$ 的圆上，其中 ε 是相对机器精度 (eps)。

有关多重极点的详细信息，请参阅 Sensitivity of Multiple Roots。

• 如果 sys 具有内部延迟，则通过首先将所有内部延迟设置为零来获得极点，以便系统具有有限数量的极点，从而创建零阶帕德近似。对于某些系统，将延迟设置为零会创建奇异的代数环，从而导致零延迟近似不当或定义不明确。对于这些系统，pole 会返回错误。

要评估具有内部延迟的模型的稳定性，请使用 step 或 impulse。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

damp | esort | dsort | pzmap | zero | step | impulse | pzplot

主题

• Pole and Zero Locations
• Sensitivity of Multiple Roots

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