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在上篇文章《理论分享 | 模态分析（1）：从数理方程（PDE）到工程实现（FEM）》中，探讨了如何基于哈密顿原理将偏微分方程转化为有限元动力学线性方程组$\mathbf{M}\ddot{u}+\mathbf{K}u=0$。通过这一转换，模态分析就转化为数学上的广义特征值问题，结构的固有频率和模态振型分别对应该问题的特征值和特征向量。然而，当有限元软件输出各阶固有频率数值和满屏模态振型动画时，对分析人员来说更重要的是如何判断哪些模态在实际振动中起主导作用，又该如何量化评估不同模态的贡献程度。本文尝试结合理论推导，对模态参与因子、模态有效质量等参数的物理内涵进行理解。

1、模态解耦：从耦合方程到独立模态坐标方程

以上图所示的弹簧质量系统为例，其对应的动力学方程可以表示为：

其中，刚度矩阵是非对角矩阵，称之为静力耦合或弹性耦合；类似地，若质量矩阵是非对角矩阵，称之为动力耦合或惯性耦合。

1.1 模态变换：从物理空间到模态空间

对于复杂动力学问题，直接求解耦合方程需要处理大规模矩阵运算，当自由度一多，方程之间彼此"纠缠"，求解代价巨大。模态变换的核心思想是利用模态正交性条件对动力学方程进行解耦，使每个方程只包含一个坐标，称之为模态坐标（或主坐标）。模态坐标下的动力学方程变成了多个独立的单自由度系统，求解之后通过模态变换则得到了物理坐标下的系统响应。

首先，通过线性变换将系统的响应表示为各阶模态的叠加：

其中$\mathbf{\Phi }$是有各阶模态振型向量${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,{\mathbf{X}}_3$组成的振型矩阵，$\mathbf{q}=[q_1,q_2,q_3{]}^T$是各阶模态运动规律的时间函数。上式的物理含义是一个系统的运动可以分解为各个独立模态随时间的响应，每个模态按自己的规律演化，即模态${\mathbf{X}}_1$按照$q_1$变化，模态${\mathbf{X}}_2$按照$q_2$变化，依此类推，系统响应是它们的叠加。

将上述线性变换等式代入原方程中，并左乘振型矩阵转置则有：

根据模态正交性，${\mathbf{\Phi }}^T\mathbf{M\Phi }$和${\mathbf{\Phi }}^T\mathbf{K\Phi }$均是对角矩阵，分为称之为模态质量矩阵和模态刚度矩阵。更特殊地，如果模态矩阵是通过正则振型向量（模态振型相对于模态质量矩阵作了归一化）组成的，则模态质量矩阵为单位矩阵，模态刚度矩阵对角线上为各阶固有频率的平方${\omega }_i^2$。总而言之，原本耦合的动力学方程被解耦为了独立的模态坐标方程，即：

上述方程可以通过如下所示的等效弹簧质量系统来描述：

1.2 模态变换的数学本质及物理意义

模态变换的数学本质可以理解为"坐标变换"，也就是将复杂的振动分解到了"模态坐标系"中，就像将复杂曲线运动分解为沿着不同坐标轴的简单运动那样，只是其维度较高，难以形象表示；同样地，原本实际物理空间的外载荷也被分解到了模态坐标系下，从而得到外载荷对不同模态的贡献。最终将一个庞大的耦合系统，变成了若干个"等效弹簧质量系统"的叠加问题,这些单自由度系统的响应互不干扰，任何的动力分析都变成对这些单自由度结果的简单叠加，同时，可以单独分析某阶模态对总响应的贡献，为"降阶分析"提供了理论基础。

2、模态参与因子与模态有效质量

2.1 模态参与因子：量化各阶模态的"参与度"

模态参与因子（Modal Participation Factor）描述的是某阶模态对"特定方向激励"的响应敏感程度，其对应的公式为：

当使用正则振型向量时，分母的模态质量为1，模态参与因子表示为${\Gamma }_i={\Phi }_i^T\mathbf{M}\gamma$。其中$\gamma$是表示激励方向的"单位位移向量"（在所激励自由度上值为1，其余自由度为零，比如仅第1个自由度被激励$\gamma =[1,0,0,0,0,0,...{]}^T$，若激励所有X方向自由度$\gamma =[1,0,0,1,0,0,...{]}^T$），这里的"单位位移向量"不是指"欧几里得范数"为1。

模态参与因子的物理意义可以尝试理解为激励向量在模态坐标系下的投影，对于同样的激励向量，某一阶模态对应的模态参与因子大，代表分解到这个模态振型上的激励值越大，也代表该阶模态对这个激励作用下的动态响应贡献越大。对于同一阶模态，不同激励对应的模态参与因子，要同时考虑这个激励处对应的模态振型幅值和质量，举例说明如下：

通过一个悬臂梁进行形象地理解：同样的激励作用在悬臂梁末端自由处引起的动态响应会显著大于作用在靠近固定端；另一方面，结构的重量分布也会影响动态响应，在同样的激励下，末端自由处较重的梁响应也会较大。故可以认为${\Phi }_i^T\mathbf{M}$综合模态振型和结构质量抽象了一个坐标系，模态参与因子就是激励向量$\gamma$在这个坐标系下的投影。

需要注意的是，模态参与因子是存在正值和负值的，这是由模态振型的特性决定的（振型乘以-1仍是振型），模态参与因子的正负号表征的是：在该激励下，结构是按当前振型运动，还是振型的负向运动。

2.2 模态有效质量：从"参与度"到"质量贡献"

模态参与因子，从敏感程度评价了某阶模态的重要性;而模态有效质量（Modal effective mass）则是指在"特定方向激励"下，某一阶模态参与的系统质量。定义如下：

即模态有效质量可以看作是模态参与因子${\Gamma }_{i,direction}$的加权平方，权重为$m_{eqi}$。对于正则模态振型来说，$m_{eqi,direction}=({\Gamma }_{i,direction}{)}^2=({\Phi }_i^T\mathbf{M}\gamma {)}^2$。由于模态振型${\Phi }_i$乘以比例系数后仍是振型，故对于模态参与因子（分子1个${\Phi }_i$，分母2个${\Phi }_i$）来说，不同比例振型的模态参与因子是不一样的；而模态有效质量不会随着振型比例改变而变化。从物理上理解为，因为响应是固定的，所以当振型放大了一定比例之后，相应的模态参与因子则缩小一定比例（乘积保持不变），而模态质量是不变的。因此，在评价"模态贡献"的时候，模态有效质量更容易给出"比例"的概念，从而筛选出"重要模态"。

参考公众号"NVH攻城狮"一篇文章《模态参与因子/模态有效质量》中的解读：“该质量是’假质量’，是我们认为的某一模态参与响应的对应质量；但同时该质量也是"真质量”，在某一向量激励下，所有模态的有效质量之和等于该物体对应此激励的响应质量。"对模态有效质量的物理意义进行理解，数学推导如下：

对于给定的激励$\gamma$，系统对应此激励的响应质量可通过质量矩阵激励自由度处对角线求和得到（$\mathbf{M}$是结构的"质量分布表"，对角线元素是每个自由度的集中质量）：

这是真实的物理质量，即"真质量"，若激励所有X方向自由度$\gamma =[1,0,0,1,0,0,...{]}^T$），则$m_{\gamma }$为物体的总质量（平动质量，激励所有Y向自由度也是一样的）。

以正则模态振型作为一组基，激励$\gamma$可以表示为模态振型的叠加：

其中$c_i$是系数，利用模态正交性，在两边同时左乘${\Phi }_j^{T}M$：

代回展开式，得到激励$\gamma$的模态振型表示：

将其代入激励的响应质量的计算式，得到：

根据正则模态振型及模态正交性，有：

也就是在给定激励下，每一阶模态振型对应的有效质量总和等于该物体对应此激励的响应质量。即总和是有物理含义的"真质量"，而模态有效质量是我们认为某阶模态参与这个"总和"的质量，是"假质量"。当"假质量"之和的比例达到了"真质量"的一定比例（如90%），我们认为这些模态能够相对准确描述响应。

从数学角度理解，左边等价于某个激励向量$\gamma$模的平方，右边则是把这个向量投影到${\Phi }^T\mathbf{M}$这个坐标系下，每个分量的平方和。从模态参与因子角度，可以把它看成向量的分量；从模态有效质量的角度，应该把它看成求和的组成，具体举例如下：

以上都是在激励向量给定的情况下进行分析比较的。对于不同的激励向量，由于其所激励的物理质量不一，甚至量纲可能都不一致（如平动激励和转动激励），一般不直接做对比分析。当然也有例外，比如激励所有X方向自由度$\gamma =[1,0,0,1,0,0,...{]}^T$）和激励所有Y方向自由度$\gamma =[0,1,0,0,1,0,...{]}^T$），激励的物理质量都是结构的平动质量$M_{t}otal$，此时看某阶模态对应哪个方向的模态有效质量更大，则能判断该阶模态偏向哪个方向的振型，也就是我们常说的X向振动模态、Y向振动模态等；或者把每个方向的模态参与因子按该方向最大值做归一化，基于归一化的结果来判断该阶振型偏向哪个方向的振动。

3、软件仿真案例介绍

采用ANSYS对一根长$200mm$,截面为$4mm\ast 6mm$的进行分析，单元为2mm的二阶单元，材料为铝合金，结构总重量$1.296e-005\mathrm{t}$。将其左端固定，进行模态分析，查看软件中相关信息的输出结果。

仿真云图结果如下，可以明显看出：一阶三阶是Z向弯曲模态，二阶四阶则是X向弯曲模态。

软件在进行分析时会自动计算各阶模态的X向、Y向、Z向、ROTX、ROTY、ROTZ六个方向的模态参与因子、模态有效质量以及累计有效质量，Workbench的solve.out文件、经典界面的命令输出窗口可以找到相关信息，以X向相关信息为例，介绍如下：

前面提到，在任意一个激励下都有所谓的模态参与因子和模态有效质量，软件给出的是六个符合人们习惯的激励方向。在工程计算中，一般是根据所关注的响应来判断模态数量是否足够，比如关注X向的响应，那就判断X向的模态有效质量是否达到了给定比例（如90%）。

值得注意的是，对于实体单元来说，并没有旋转自由度，上述的ROTX，ROTY、ROTZ三个方向的模态参与因子、模态有效质量就不能按照前面定义的方法直接计算了。实际上，软件通过节点平移自由度构造了一个虚拟旋转场。以ROTX为例，假设结构绕着X轴旋转单位弧度，各个节点的位移为$u_x=0,u_y=-z,u_z=y$，与其坐标$y,z$相关，基于此构造出了绕X轴旋转向量${\gamma }_{Rotx}$，可以计算出ROTX方向的模态参与因子和模态有效质量。类似地，转动方向上的模态有效质量既是"假惯量"，是我们认为的某一模态参与响应的转动惯量；也是"真惯量"，完备振型下ROTX方向各阶模态有效质量之和是结构绕X轴的转动惯量。

4、总结

• 本文简单介绍了模态变换的概念，说明如何将动力学方程从物理空间转换到模态空间，从而实现了方程的解耦；
• 模态变换的数学本质可以理解为"坐标变换"，也就是将复杂的振动行为分解到了"模态坐标系"中，从物理角度来说等价于构造了若干个独立的弹簧振子系统；
• 从模态参与因子和模态有效质量的定义出发，结合理论推导对这两个参数的物理内涵进行了更深入的理解，可以说这两者是相互统一的，都是用来描述在"给定激励方向"下，某阶模态对整体响应的参与度（贡献度）怎么样；
• 介绍了一个ANSYS仿真案例，在做模态分析时，软件会计算出6个预定方向（X，Y，Z，RotX，ROTY，ROTZ）的模态参与因子和模态有效质量，以供用户分析参考；对于不含旋转自由度的实体单元来说，旋转方向的模态参与因子是通过构造虚拟旋转位移场（单位旋转角度）来计算的。

最后

以上内容是本人结合理论推导，对动力学分析中常见的模态解耦、模态参与因子、模态有效质量等概念的理解。在撰写过程中参考了诸多相关资料，由于资料来源较多，这里就不列举了，在此一并进行感谢！由于个人水平有限，文章内容难免存在不足之处，如有错误或疏漏，欢迎大家指正。

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