AdaBoost算法

1.基本概念

AdaBoost自适应提升算法是boosting提升算法的一种集成学习算法，主要是应用弱分类器来组合构造强分类器

训练流程：在训练数据集中的每个数据样本赋予一个权重，刚开始权重值都是相等的，用向量D来存储这些权重，首先在第一个弱分类器上训练训练集，并根据训练结果计算在该弱分类器上面的错误率$\epsilon$，根据分类错误情况对权重向量D进行更新，这个更新针对分类错误的样本数据权重提高，分类正确的样本数据的权重降低，然后根据权重向量对同样的训练集数据在另一个弱分类器进行训练，根据分类结果再同样计算更新权重向量。依次反复再各个弱分类器上进行训练。为了从所有弱分类器中得到最终分类结果，需要对每一个弱分类器赋予一个权重值$\alpha$,这个权重值也基于弱分类器错误率进行运算的。

错误率计算公式
$$\epsilon =\frac{分类错误的样本数}{分类正确的样本数}(1.1)$$
最终预测结果
$$F(x)=\sum _{i=1}^m{\alpha }_{i}f(x)(1.2)$$
其中${\alpha }_i$为弱学习器的权重，$f(x)$是弱学习器分类后的结果。

在AdaBoost算法中的损失函数定义为指数损失函数
$$L(y,f(x))=e^{-yF(x)}(1.3)$$
在第$m$次的迭代过程中，前$m-1$次的系数${\alpha }_{m-1}$和弱学习器组合分类结果$F_{m-1}(x)$都是已知的,则$F_m()=$$F_{m-1}(x)+{\alpha }_m\ast f_m(x)$,在第$m$次迭代过程中，只需就${\alpha }_m和f_m(x)$最小化损失函数
$$\begin{gathered} ar{g}_{(\alpha ,f)}min\sum _{i=1}^m{e}^{-yi{f}_m(x_i)}=ar{g}_{(\alpha ,f)}min\sum _{i=1}^m{e}^{-y_i(F_{m-1}(x_i)+{\alpha }_{m}f(x_i))} \\ =ar{g}_{(\alpha ,f)}min\sum _{i=1}^m{e}^{-y_i\ast F_{m-1}}{e}^{-y_i{\alpha }_{m}f(x_i)}(1.4) \end{gathered}$$
对于上式中$e^{-y_i\ast F_{m-1}}$为常数，可以看作认为是每一个样本数据的权重D,它不依赖于$\alpha$和$f(x)$,依赖于$y_i\ast F_{m-1}$,所以在每个弱分类器训练结束后他都会发生改变。

将公式1.4进一步简化有
$$\begin{gathered} ar{g}_{(\alpha ,f)}min\sum _{i=1}^m{D}_i^{(m)}{e}^{-y_i{\alpha }_{m}f(x_i)} \\ =ar{g}_{(\alpha ,f)}min{e}^{-\alpha }\ast \sum _{y_i=f(x_i)}{D}_i^{(m-1)}+e^{\alpha }\ast \sum _{y_i\ne f(x_i)}{D}_i^{(m-1)}(1.5) \end{gathered}$$
现在将目标函数转换为只含有变量$\alpha$的函数，对上式求导并令其等于0
$$\begin{gathered} (e^{\alpha }+e^{-\alpha })\ast \sum _{y_i\ne f(x_i)}{D}_i^{(m-1)}-e^{\alpha }\ast \sum _{i=1)}^m{D}_i^{(m-1)}=0 \\ =>(e^{\alpha }+e^{-\alpha })\ast \epsilon -e^{\alpha }=0 \\ =>\alpha =\frac{1}{2}ln\frac{1-\epsilon }{\epsilon }(1.6) \end{gathered}$$
得到第m个弱分类器权重$\alpha$后，可以得出前m个弱分类器组合得到的分类结果$F_m(x)=F_{m-1}+{\alpha }_m\ast f(x)$,同时可以对各个样本的权重进行更新
$$D_i^{m+1}=D_i^m\ast e^{-y_i{\alpha }_{m}f(x_i)}$$
训练算法伪代码：

初始化样本所有权重值相等
迭代每一个弱分类器
	训练每一个弱分类器f(x),并计算出错误率
	计算每个弱分类器的权重
	更新所有的样本权重
	结束循环
计算所有弱分类器组合后分类结果
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2.使用AdaBoost算法对病马死亡率的预测

1.决策树生成函数

#导入科学计算包
from numpy import *
#设置简单数据集

#根据阈值比较对数据进行分类
def stumpClassify(dataMatrix, dimen, threshVal, threshIneq):
    """
    :param dataMatrix: 训练数据集
    :param dimen:  阈值比较的下标
    :param threshVal:
    :param threshIneq: 比较方式
    :return: 数据集根据选定特征值比较阈值分类后的结果矩阵
    """
    #定义并初始化返回根据阈值分类后结果矩阵（mX1）
    retArray = ones((shape(dataMatrix)[0], 1))
    #比较方式为小于
    if threshIneq == 'lt':
        #特征值小于阈值的样本被分为-1类
        retArray[dataMatrix[:, dimen] <= threshVal] = -1.0
    #比较方式为大于
    else:
        #特征值大于阈值的样本被分为-1类
        retArray[dataMatrix[:, dimen] > threshVal] = -1.0
    return retArray

#找到数据集上最佳的单层决策树
def buildStump(dataArr, classLabels, D):
    """
    :param dataArr:数据集
    :param classLabels: 数据集标签
    :param D: 权重向量
    :return: 返回最佳决策树信息，最小错误率，最佳决策树分类结果
    """
    #将数据集转换为矩阵（mXn）
    dataMatrix = mat(dataArr);
    #将标签转换为矩阵并且转置(1Xm)
    labelMat = mat(classLabels).T
    #获取数据集的样本个数和特征个数
    m, n = shape(dataMatrix)
    #自定义变量，用来计算阈值
    numSteps = 10.0
    #定义一个字典用来存储在给定权重向量D时所得到的最佳决策树的信息
    bestStump = {}
    #定义并初始化根据最佳特征阈值划分后的结果
    bestClasEst = mat(zeros((m, 1)))
    #定义最小错误率并初始化为无穷大
    minError = inf
    #遍历数据集中所有的特征
    for i in range(n):  # loop over all dimensions
        #获取在数据集于i特征值中的最小值
        rangeMin = dataMatrix[:, i].min()
        # 获取在数据集于i特征值中的最大值
        rangeMax = dataMatrix[:, i].max()
        #自定义用于计算阈值的步长
        stepSize = (rangeMax - rangeMin) / numSteps
        #在数据集于i特征值中按步长为stepSize遍历
        for j in range(-1, int(numSteps) + 1):
            #分别按照大于和小于分类
            for inequal in ['lt', 'gt']:
                #设置阈值,自定义阈值计算公式：min+j*stepSize
                threshVal = (rangeMin + float(j) * stepSize)
                #基于特征值阈值来分类，并返回分类结果
                predictedVals = stumpClassify(dataMatrix, i, threshVal,inequal)
                #定义并初始化错误率矩阵
                errArr = mat(ones((m, 1)))
                #判断根据阈值分类后的结果与实际结果，若分类结果一致，定义错误率矩阵为0，否则不变
                errArr[predictedVals == labelMat] = 0
                #自定义计算错误加权率，公式为：所有样本权重向量*是否分类结果错误的和
                weightedError = D.T * errArr
                #如果加权错误率小于最小错误率
                # print ("split: dim %d, thresh %.2f, thresh ineqal: %s, the weighted error is %.3f" % (i, threshVal, inequal, weightedError))

                if weightedError < minError:
                    #更新最小错误率
                    minError = weightedError
                    #存储按照这种特征的阈值划分的结果
                    bestClasEst = predictedVals.copy()
                    #存储最佳决策树信息
                    bestStump['dim'] = i
                    bestStump['thresh'] = threshVal
                    bestStump['ineq'] = inequal
    return bestStump, minError, bestClasEst
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2.AdaBoost训练算法

#导入科学计算包
from numpy import *
#导入决策数生成函数
import 单决策树生成函数 as algriothm
#AdaBoost元算法训练过程
def adaBoostTrainDS(dataArr,classLabels,numIt=40):
    """
    :param dataArr: 数据集
    :param classLabels: 标签数据集
    :param numIt: 迭代次数
    :return:
    """
    #定义弱分类器
    weakClassArr = []
    #获取训练集样本个数
    m = shape(dataArr)[0]
    #初始化权重向量
    D = mat(ones((m,1))/m)
    #
    aggClassEst = mat(zeros((m,1)))
    loss_list=list()
    j=1
    for i in range(numIt):
        j+=1
        #获取最佳决策树
        bestStump,error,classEst =algriothm.buildStump(dataArr,classLabels,D)
        #计算alpha,max()函数防止最小错误率为0的情况
        alpha = float(0.5*log((1.0-error[0,0])/max([error[0,0],1e-16])))
        #在最佳决策树中存储alpha
        bestStump['alpha'] = alpha
        #向弱分类器中添加最佳决策树
        weakClassArr.append(bestStump)
        #print "classEst: ",classEst.T
        #对于分类正确计算按照exp(-alpha)重新计算权重向量，对于分类错误的按照exp(alpha)重新计算权重
        expon = multiply(-1*alpha*mat(classLabels).T,classEst) #exponent for D calc, getting messy
        D = multiply(D,exp(expon))                              #Calc New D for next iteration
        D = D/D.sum()
        #对分类器分类结果加上权重
        aggClassEst += alpha*classEst
        #计算加上权重之后分类错误数
        aggErrors = multiply(sign(aggClassEst) != mat(classLabels).T,ones((m,1)))
        errorRate = aggErrors.sum()/m
        print(errorRate)
        if errorRate == 0.0: break
    return weakClassArr,aggClassEst,j,loss_list


#测试
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3.使用AdaBoost算法预测分类

#导入科学计算包
from numpy import *
#导入单决策树生成函数
import 单决策树生成函数 as algriothm
#导入单决策树训练过程
import 单决策树元算法的训练过程 as adaboost
#导入matplotlib绘图包
import matplotlib.pyplot as plt
#元算法分类函数
def adaClassify(dataTestClass,classifier):
    #将待分类数据集转换为数组
    dataMatrix=mat(dataTestClass)
    #统计待分类数据样本数
    m=shape(dataMatrix)[0]
    #初始化分裂结果数组
    aagClassEst=mat(zeros((m,1)))
    loss_list=list()
    #根据弱分类器对待分类数据集进行分类
    for i in range(len(classifier)):
        classEst=algriothm.stumpClassify(dataMatrix,classifier[i]['dim'],classifier[i]['thresh'],classifier[i]['ineq'])

        aagClassEst+=classifier[i]['alpha']*classEst
    return sign(aagClassEst)
#读取文件并且获取数据集
def loadDataSet(fileName):
    #获取数据集特征数目
    numFat=len(open(fileName).readline().split('\t'))
    #定义数据集，分类标签数据集
    dataMat=[]
    label=[]
    f=open(fileName)
    #从每行处理文本文件
    for line in f.readlines():
        lineArr=[]
        curLine=line.strip().split('\t')
        for i in range(numFat-1):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        dataMat.append(lineArr)
        label.append(float(curLine[-1]))
    return dataMat,label

#测试
if __name__=='__main__':
    dataMat,labelMat=loadDataSet("D:\学习资料\机器学习实战\《机器学习实战》源代码\machinelearninginaction\Ch07/horseColicTraining2.txt")
    # print(labelMat)
    classfier,classEst,j,loss_list=adaboost.adaBoostTrainDS(dataMat,labelMat,100)
  
    testData,teatLabel=loadDataSet("D:\学习资料\机器学习实战\《机器学习实战》源代码\machinelearninginaction\Ch07/horseColicTest2.txt")
    prob=adaClassify(testData,classfier)
    errArr=mat(ones((67,1)))
    print(f"预测错误率是{errArr[prob!=mat(teatLabel).T].sum()/67.0}")
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可以看到训练错误率是0.19，预测错误率是0.22，当然很大关系上在于数据集有30%的数据缺失，同时还有与迭代次数有很大关系。

3.总结

这里AdaBoost算法解决的是离散型AdaBoost算法，当然还有实数型AdaBoost算法，LogitBoost算法，Gentle型AdaBoost算法

参考博客：集成学习之Boosting —— AdaBoost原理 - 知乎 (zhihu.com)

参考书籍：《机器学习实战》