凹函数英文concave，凸函数英文concave。

在有些参考资料中，凸函数又称为下凹（concave down）函数，凹函数称为上凹(concave up)函数。

凹函数和凸函数根据判定方法的不同，分为以下两类：

1. 一元函数的凹性和凸性。
2. 多元函数的凹性和凸性。

其中一元函数的凹性根据函数的二次导数进行判断，多元函数的凹性根据函数的Hessian矩阵的正定性进行判断。

一元函数f(x)的凹性和凸性：

函数图像：左边是上凹，又称为凹函数；右边是下凹，又称为凸函数。

判定规则：如果函数f的二阶导数>0，则函数是凹函数；如果函数的二阶导数<0，则函数是凸函数；如果函数的二阶导数=0,则函数不具有凹性和凸性。

 多元函数f(x1,x2,...,xn)的凹性和凸性：

判定规则：计算多元函数的Hessian矩阵，如果Hessian矩阵是半正定的，则函数f(x1,x2,...,xn)是凸函数(convex)；如果Hessian矩阵式半负定的，则函数f(x1,x2,...,xn)是凹函数（concave）。

关于矩阵正定、负定、半正定、半负定的判断可参考：矩阵是否正定/负定、半正定/半负定的判断_半正定矩阵怎么判断_使君杭千秋的博客-CSDN博客

关于一元函数的凹凸性可参考：一元函数的凹性concavity以及二阶导数_饮食有度的元气少女的博客-CSDN博客

关于多元函数的凹凸性可参考：

多元函数f(x1,x2,...,xn)的凸函数(convex)和凹函数(concave)_饮食有度的元气少女的博客-CSDN博客

推荐内容