层层剖析，让你彻底搞懂Self-Attention、MultiHead-Attention和Masked-Attention的机制和原理

本文内容本文基于李宏毅老师对 Self-Attention 的讲解，进行理解和补充，并结合Pytorch代码，最终目的是使得自己和各位读者更好的理解Self-Attention李宏毅Self-Attention链接: https://www.youtube.com/watch?v=hYdO9CscNesPPT链接见视频下方通过本文的阅读，你可以获得以下知识：什么是Self-Attention，为什

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iioSnail

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iioSnail · 2022-02-10 22:17:00 发布

文章目录

本文内容
一、Self-Attention
二. MultiHead Attention
- 2.1 MultiHead Attention理论讲解
- 2.2. Pytorch实现MultiHead Attention
三. Masked Attention
参考资料

本文内容

本文基于李宏毅老师对 Self-Attention 的讲解，进行理解和补充，并结合Pytorch代码，最终目的是使得自己和各位读者更好的理解Self-Attention

李宏毅Self-Attention链接: https://www.youtube.com/watch?v=hYdO9CscNes
PPT链接见视频下方

通过本文的阅读，你可以获得以下知识：

什么是Self-Attention，为什么要用Self-Attention
Self-Attention是如何做的
Self-Attention是如何设计的
Self-Attention公式的细节
MultiHead Attention
Masked Attention

一、Self-Attention

1.1. 为什么要使用Self-Attention

假设现在一有个词性标注(POS Tags)的任务，例如：输入I saw a saw（我看到了一个锯子）这句话，目标是将每个单词的词性标注出来，最终输出为N, V, DET, N(名词、动词、定冠词、名词)。
在这里插入图片描述

这句话中，第一个saw为动词，第二个saw(锯子)为名词。如果想做到这一点，就需要保证机器在看到一个向量(单词)时，要同时考虑其上下文，并且，要能判断出上下文中每一个元素应该考虑多少。例如，对于第一个saw，要更多的关注I，而第二个saw，就应该多关注a。

这个时候，就要Attention机制来提取这种关系：如果一个任务的输入是一个Sequence（一排向量），而且各向量之间有一定关系，那么就要利用Attention机制来提取这种关系。

1.2. 直观的感受下Self-Attention

在这里插入图片描述
该图描述了Self-Attention的使用。Self-Attention接受一个Sequence（一排向量，可以是输入，也可以是前面隐层的输出），然后Self-Attention输出一个长度相同的Sequence，该Sequence的每个向量都充分考虑了上下文。举个例子，输入是I、saw、a、saw，对应向量为：

$\text{I} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},~~\text{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

在经过Self-Attention层之后，可能就变成了这样：

$\text{I}' = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0.28 \\ 0.02 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw}' = \begin{bmatrix} 0.34 \\ 0.65 \\ 0.01 \\ \end{bmatrix},~~\text{a}' = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.2 \\ 0.6 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw}' = \begin{bmatrix} 0.01 \\ 0.5 \\ 0.49 \\ \end{bmatrix}$

对于第一个saw，它除了自身外，还要考虑 $0.34$ 个I；对于第二个saw，它要考虑 $0.49$ 个a。

1.3. Self-Attenion是如何考虑上下文的

在这里插入图片描述
如图所示，每个输入都会和其他输入计算一个相关性分数，然后基于该分数，输出包含上下文信息的新向量。

对于上图， $a^1$ 需要与 $a^1,a^2,a^3,a^4$ 分别计算相关性分数 $\alpha_{1,1}, \alpha_{1,2}, \alpha_{1,3}, \alpha_{1,4}$ （需要和自己也计算一下）, $\alpha$ 的分数越高，表示两个向量的相关度越高。

计算好 $\alpha_{1,*}$ 后，就可以求出新的包含上下文信息的向量 $b^1$ ，假设 $\alpha_{1,1}=5, \alpha_{1,2}=2, \alpha_{1,3}=1, \alpha_{1,4}=2$ ，则：

$b_1 = \sum_{i}\alpha_{1,i} \cdot a^i = 5 \cdot a^1 + 2 \cdot a^2 + 1 \cdot a^3 + 2 \cdot a^4$

同理，对于 $b_2$ ，首先计算权重 $\alpha_{2,1}, \alpha_{2,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{2,4}$ , 然后进行加权求和

如果按照上面这个式子做，还有两个问题：

$\alpha$ 之和不为1，这样会将输入向量放大或缩小
直接用输入向量 $a^i$ 去乘的话，拟合能力不够好

对于问题1，通常的做法是将 $\alpha$ 过一个Softmax（当然也可以选择其他的方式）

对于问题2，通常是将 $a^i$ 乘个矩阵（该矩阵是训练出来的），然后生成 $v^i$ ，然后用 $v^i$ 去乘 $\alpha$

1.4. 如何计算相关性分数 $\alpha$

首先，复习下向量相乘。两个向量相乘（做内积），公式为： $\cdot b = |a||b| \cos \theta$ ，通过公式可以很容易得出结论：

两个向量夹角越小（越接近），其内积越大，相关性越高。反之，两个向量夹角越大，相关性越差，如果夹角为90°，两向量垂直，内积为0，无相关性

通过上面的结论，很容易想到，要计算 $a^1$ 和 $a^2$ 的相关性，直接做内积即可，即 $\alpha_{1,2} = a_1 \cdot a_2$ 。但如果直接这样，显然不好，例如，句子I saw a saw的saw和saw相关性一定很高(两个一样的向量夹角为0)，这样不就错了嘛。

为了解决上面这个问题，Self-Attention又额外“训练”了两个矩阵 $W^q$ 和 $W^k$

$W^q$ 负责对“主角”进行线性变化，将其变换为 $q$ ，称为query，
$W^k$ 负责对“配角”进行线性变化，将其变换为 $k$ ，称为key

有了 $W^q和W^k$ ，我们就可以计算 $a^1$ 和 $a^2$ 的相关分数 $\alpha_{1,2}$ 了，即：

$\alpha_{1,2} = q^1 \cdot k^2 = (W^q \cdot a^1 )\cdot (W^k \cdot a^2)$

上面这些内容可以汇总成如下图：
在这里插入图片描述
要计算 $a^1$ （主角）与 $a^1, a^2, a^3, a^4$ （配角）的相关度，需要经历如下几步：

通过 $W^q$ ，计算 $q^1$
通过 $W^k$ ，计算 $k^1, k^2, k^3, k^4$
通过 $q$ 和 $k$ ，计算 $\alpha_{1,1}, \alpha_{1,2}, \alpha_{1,3}, \alpha_{1,4}$

上图并没有把 $k^1$ 画出来，但实际计算的时候，需要计算 $k_1$ ，即需要计算 $a^1$ 和其自身的相关分数。

1.5. 将 $\alpha$ 归一化

还记得上面提到的， $\alpha$ 之和不为1，所以，在上面得到了 $\alpha_{1, *}$ 后，还需要过一下Softmax，将 $\alpha_{1, *}$ 进行归一化。如下图：

在这里插入图片描述

最终，会将归一化后的 $\alpha'_{1, *}$ 作为 $a^1$ 与其它向量的相关分数。同理， $a^2, a^3, ...$ 向量与其他向量的相关分数也这么求。

不一定非要用Softmax，你开心想用什么都行，说不定效果还不错，也不一定非要归一化。只是通常是这么做的

1.6. 整合上述内容

求出了相关分数 $\alpha '$ ，就可以进行加权求和计算出包含上下文信息的向量 $b$ 了。还记得上面提到过，如果直接用 $a$ 与 $\alpha '$ 进行加权求和，泛化性不够好，所以需要对 $a$ 进行线性变换，得到向量 $v$ ，所以Self-Attention还需要训练一个矩阵 $W^v$ 用于对 $a$ 进行线性变化，即：

$v^1 = W^v \cdot a^1 ~~~~~~~~v^2 = W^v \cdot a^2~~~~~~~~~v^3 = W^v \cdot a^3~~~~~~~~~~~v^4 = W^v \cdot a^4$

然后就可用 $v$ 与 $\alpha '$ 进行加权求和，得到 $b$ 了。

$b^1 = \sum_i \alpha'_{1,i} \cdot v^i = \alpha'_{1,1} \cdot v^1 + \alpha'_{1,2} \cdot v^2 + \alpha'_{1,3} \cdot v^3 + \alpha'_{1,4} \cdot v^4$

将求 $b^1$ 的整个过程可以归纳为下图：

在这里插入图片描述
用更正式的话描述一下整个过程：

有一组输入序列 $(a^1, a^2, \cdots, a^n)$ ，其中 $a^i$ 为向量，将序列 $I$ 通过Self-Attention，可以将其转化为另外一个序列 $(b^1, b^2, \cdots, b^n)$ ，其中向量 $b^i$ 是由向量 $a^i$ 结合其上下文得出的， $b^i$ 的求解过程如下：

求出查询向量 $q^i$ ，公式为 $q^i = W^q \cdot a^i$
求出 $k^1,k^2, \cdots, k^n$ ，公式为 $k^j = W^k \cdot a^j$
求出 $\alpha_{i,1}, \alpha_{i,2}, \cdots, \alpha_{i,n}$ ，公式为 $\alpha_{i,j}=q^i\cdot k^j$
将 $\alpha_{i,1}, \alpha_{i,2}, \cdots, \alpha_{i,n}$ 进行归一化得到 $\alpha'_{i,1}, \alpha'_{i,2}, \cdots, \alpha'_{i,n}$ ，公式为 $\alpha'_{i,j} = \text{Softmax}(\alpha_{i,j};\alpha_{i,*}) = \exp(\alpha_{i,j})/\sum_t \exp(\alpha_{i,t})$
求出向量 $v^1, v^2, \cdots, v^n$ ，公式为： $v^j=W^v \cdot a^j$
求出 $b^i$ ，公式为 $b^i = \sum_j \alpha'_{i,j} \cdot v^j$

其中， $W^q, W^k, W^v$ 都是训练出来的

到这里Self-Attention的面纱已经揭开，但还没有结束，因为上面的步骤如果写成代码，需要大量的for循环，显然效率太低，所以需要进行向量化，能合并成向量的合成向量，能合并成矩阵的合成矩阵。

1.7. 向量化

向量 $a$ 的矩阵化，假设列向量 $a^i$ 维度为 $d$ ，显然可以将输入转化为矩阵 $I$ ，公式为：

$I_{d\times n} = (a^1, a^2, \cdots, a^n)$

接下来定义 $W^q, W^k, W^v$ 矩阵，其中 $W^q$ 和 $W^k$ 的矩阵维度必须一致，为 $d_k\times d$ ，而 $W^v$ 的矩阵维度为 $d_v\times d$ ，其中 $d_k $和 $d_v$ 都是需要调的超参数（一般与词向量的维度 $d$ 保持一致）。 $d_k$ 只影响过程，但 $d_v$ 会影响结果，即 $d_v$ 是Attention的输出向量 $b$ 的维度。定义好 $W^q$ 的维度后，就可以将 $q$ 矩阵化了，

向量 $q$ 的矩阵化，公式为：

$Q_{d_k\times n} = (q^1, q^2, \cdots, q^n) = W^q_{d_k\times d} \cdot I_{d\times n}$

同理，向量k的矩阵化，公式为：

$K_{d_k\times n} = (k^1, k^2, \cdots, k^n) = W^k \cdot I$

同理，向量v的矩阵化，公式为：

$V_{d_v\times n} = (v^1, v^2, \cdots, v^n) = W^v \cdot I$

得到了矩阵 $Q$ 和 $K$ ，那么就很容易得出相关分数 $\alpha$ 的矩阵了，

相关分数 $\alpha$ 的矩阵为：

$A_{n\times n} = \begin{bmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{n,1} \\ \alpha_{1,2} & \alpha_{2,2} & \cdots &\alpha_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha_{1,n} & \alpha_{2,n} & \cdots &\alpha_{n,n} \\ \end{bmatrix} = K^T \cdot Q =\begin{bmatrix} {k^1}^T \\ {k^2}^T \\ \vdots \\ {k^n}^T \end{bmatrix} \cdot (q^1, q^2, \cdots, q^n)$

我的定义 $k^i$ 是列向量，所以要转置一下

进一步， $\alpha '$ 的矩阵为：

$A'_{n\times n} = \textbf{softmax}(A) = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} & \cdots &\alpha'_{n,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots &\alpha'_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix}$

$A^{'}$ 有了， $V$ 有了，那就可以对输出向量 $b$ 进行矩阵化了，

输出向量b的矩阵化，公式为：

$O_{d_v\times n} = (b^1, b^2, \cdots, b^n) = V_{d_v\times n} \cdot A'_{n\times n} = (v^1, v^2, \cdots, v^n) \cdot \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} & \cdots &\alpha'_{n,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots &\alpha'_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix}$

将上面全部整合起来，就可以的到，整合后的公式为

$\textbf{Attention}(Q, K, V) = V\cdot \textbf{softmax}(K^T Q)$

如果你看过其他文章，你应该会看到真正的最终公式如下：

$\text { Attention }(Q, K, V)=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q K^{T}}{\sqrt{d_{k}}}\right) V$

其实我们的公式和这个公式只差了一个转置和 $\sqrt{d_k}$ 。转置不比多说，就是表示方式不同。

原公式的 $Q, K, V$ 以及输出 $O$ ，对应我们公式的 $Q^T,K^T,V^T$ 和 $O^T$

1.8. $d_k$ 是什么，为什么要除以 $\sqrt{d_k}$

首先， $d_k$ 是Q和K矩阵的行维度，也就是上面的 $Q_{d_k\times d}$ 中的 $d_k$ 。而矩阵相乘会放大原有矩阵的标准差，放大的倍数约为 $\sqrt{d_k}$ ，为了将标准差缩放回原来的大小，所以要除以 $\sqrt{d_k}$ 。

例如，假设 $Q_{n \times d_k}$ 和 $K_{n\times d_k}$ 的均值为0，标准差为1。则矩阵 $QK^T$ 的均值为0，标准差为 $\sqrt{d_k}$ ，矩阵相乘使得其标准差放大了 $\sqrt{d_k}$ 倍

矩阵的均值就是把所有的元素加起来除以元素数量，方差同理。

可以通过以下代码验证这个结论（数学不好，只能通过实验验证结论了，哭）：

Q = np.random.normal(size=(123, 456)) # 生成均值为0，标准差为1的 Q和K
K = np.random.normal(size=(123, 456))
print("Q.std=%s, K.std=%s, \nQ·K^T.std=%s, Q·K^T/√d.std=%s" 
      % (Q.std(), K.std(), 
         Q.dot(K.T).std(), Q.dot(K.T).std() / np.sqrt(456)))

Q.std=0.9977961671085275, K.std=1.0000574599289282,
Q·K^T.std=21.240017020263437, Q·K^T/√d.std=0.9946549289466212

通过输出可以看到，Q和K的标准差都为1，但是两矩阵相乘后，标准差却变为了 21.24, 通过除以 $\sqrt{d_k}$ ，标准差又重新变为了 1

再看另一个例子，该例子Q和K的标准差是随机的，更符合真实的情况：

Q = np.random.normal(loc=1.56, scale=0.36, size=(123, 456)) # 生成均值为随机，标准差为随机的 Q和K
K = np.random.normal(loc=-0.34, scale=1.2, size=(123, 456))
print("Q.std=%s, K.std=%s, \nQ·K^T.std=%s, Q·K^T/√d.std=%s" 
      % (Q.std(), K.std(), 
         Q.dot(K.T).std(), Q.dot(K.T).std() / np.sqrt(456)))

Q.std=0.357460640868945, K.std=1.204536717914841, 
Q·K^T.std=37.78368871510589, Q·K^T/√d.std=1.769383337989377

可以看到，最开始Q的标准差为 $0.35$ , K的标准差为 $1.20$ ，结果矩阵相乘后标准差达到了 $37.78$ ，经过缩放后，标准差又回到了 $1.76$ 。

1.9. 代码实战：Pytorch定义SelfAttention模型

接下来使用Pytorch来定义SelfAttention模型，这里使用原论文中的公式：

$\text { Attention }(Q, K, V)=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q K^{T}}{\sqrt{d_{k}}}\right) V$

这里为了使代码定义逻辑更清晰，下面我将各个部分的维度标记出来：

$\begin{aligned} O_{n\times d_v} = \text { Attention }(Q_{n\times d_k}, K_{n\times d_k}, V_{n\times d_v})&=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q_{n\times d_k} K^{T}_{d_k\times n}}{\sqrt{d_k}}\right) V_{n\times d_v} \\\\ & = A'_{n\times n} V_{n\times d_v} \end{aligned}$

其中，各个变量定义为：

$n$ ：input_num，输入向量的数量，例如，你一句话包含20个单词，则该值为20
$d_k$ ：dimension of K，Q和K矩阵的行维度（超参数，需要自己调，一般和输入向量维度 $d$ 一致即可），该值决定了线性层的宽度。
$d_v$ ：dimension of V，V矩阵的行维度，该值为输出向量的维度（超参数，需要自己调，一般取值和输入向量维度 $d$ 保持一致）。

上述公式中， $Q, K, V$ 是通过矩阵 $W^q,W^k,W^v$ 和输入向量 $I$ 计算出来的，而一般对于要训练的矩阵，代码中一般使用线性层来表示，详情可参考：Pytorch nn.Linear的基本用法，所以最终 $Q$ 矩阵的计算公式为：

$Q_{n \times d_k} = I_{n\times d} W^q_{d\times d_k} ~~~~~~~~(2)$

$K, V$ 矩阵同理。其中

$d$ ：input_vector_dim: 输入向量的维度，例如你将单词编码为了10维的向量，则该值为10

有了公式(1)和(2)，就可以定义SelfAttention模型了，代码如下：

class SelfAttention(nn.Module):
    def __init__(self, input_vector_dim: int, dim_k=None, dim_v=None):
        """
        初始化SelfAttention，包含如下关键参数：
        input_vector_dim: 输入向量的维度，对应上述公式中的d，例如你将单词编码为了10维的向量，则该值为10
        dim_k: 矩阵W^k和W^q的维度
        dim_v: 输出向量的维度，即b的维度，例如，经过Attention后的输出向量b，如果你想让他的维度为15，则该值为15，若不填，则取input_vector_dim
        """
        super(SelfAttention, self).__init__()

        self.input_vector_dim = input_vector_dim
        # 如果 dim_k 和 dim_v 为 None，则取输入向量的维度
        if dim_k is None:
            dim_k = input_vector_dim
        if dim_v is None:
            dim_v = input_vector_dim

        """
        实际写代码时，常用线性层来表示需要训练的矩阵，方便反向传播和参数更新
        """
        self.W_q = nn.Linear(input_vector_dim, dim_k, bias=False)
        self.W_k = nn.Linear(input_vector_dim, dim_k, bias=False)
        self.W_v = nn.Linear(input_vector_dim, dim_v, bias=False)

        # 这个是根号下d_k
        self._norm_fact = 1 / np.sqrt(dim_k)

    def forward(self, x):
        """
        进行前向传播：
        x: 输入向量，size为(batch_size, input_num, input_vector_dim)
        """
        # 通过W_q, W_k, W_v矩阵计算出，Q,K,V
        # Q,K,V矩阵的size为 (batch_size, input_num, output_vector_dim)
        Q = self.W_q(x)
        K = self.W_k(x)
        V = self.W_v(x)

        # permute用于变换矩阵的size中对应元素的位置，
        # 即，将K的size由(batch_size, input_num, output_vector_dim)，变为(batch_size, output_vector_dim，input_num)
        # 0,1,2 代表各个元素的下标，即变换前，batch_size所在的位置是0，input_num所在的位置是1
        K_T = K.permute(0, 2, 1)

        # bmm是batch matrix-matrix product，即对一批矩阵进行矩阵相乘
        # bmm详情参见：https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.bmm.html
        atten = nn.Softmax(dim=-1)(torch.bmm(Q, K_T) * self._norm_fact）

        # 最后再乘以 V
        output = torch.bmm(atten, V)

        return output

接下来使用一下，定义50个为一批(batch_size=50)，输入向量维度为3，一次输入5个向量，欲经过Attention层后，编码成5个4维的向量：

model = SelfAttention(3, 5, 4)
model(torch.Tensor(50,5,3)).size()

torch.Size([50, 5, 4])

Attention模型一般作为整体模型的一部分，是套在其他模型中使用的，最经典的莫过于Transformer

二. MultiHead Attention

2.1 MultiHead Attention理论讲解

在Transformer中使用的是MultiHead Attention，其实这玩意和Self Attention区别并不是很大。先明确以下几点，然后再开始讲解：

MultiHead的head不管有几个，参数量都是一样的。并不是head多，参数就多。
当MultiHead的head为1时，并不等价于Self Attetnion，MultiHead Attention和Self Attention是不一样的东西
MultiHead Attention使用的也是Self Attention的公式
MultiHead除了 $W^q, W^k, W^v$ 三个矩阵外，还要多额外定义一个 $W^o$ 。

好了，知道上面几点，我们就可以开始讲解MultiHeadAttention了。

MultiHead Attention大部分逻辑和Self Attention是一致的，是从求出Q,K,V后开始改变的，所以我们就从这里开始讲解。

现在我们求出了Q, K, V矩阵，对于Self-Attention，我们已经可以带入公式了，用图像表示则为：

在这里插入图片描述

为了简单起见，该图忽略了Softmax和 $d_k$ 的计算

而MultiHead Attention在带入公式前做了一件事情，就是拆，它按照“词向量维度”这个方向，将Q,K,V拆成了多个头，如图所示：

在这里插入图片描述

这里我的head数为4。既然拆成了多个head，那么之后的计算，也是各自的head进行计算，如图所示：

在这里插入图片描述

但这样拆开来计算的Attention使用Concat进行合并效果并不太好，所以最后需要再采用一个额外的 $W^o$ 矩阵，对Attention再进行一次线性变换，如图所示：

在这里插入图片描述
到这里也能看出来，head数并不是越多越好。而为什么要用MultiHead Attention，Transformer给出的解释为：Multi-head attention允许模型共同关注来自不同位置的不同表示子空间的信息。反正就是用了比不用好。

2.2. Pytorch实现MultiHead Attention

该代码参考项目annotated-transformer。

首先定义一个通用的Attention函数：

def attention(query, key, value):
    """
    计算Attention的结果。
    这里其实传入的是Q,K,V，而Q,K,V的计算是放在模型中的，请参考后续的MultiHeadedAttention类。

    这里的Q,K,V有两种Shape，如果是Self-Attention，Shape为(batch, 词数, d_model)，
                           例如(1, 7, 128)，即batch_size为1，一句7个单词，每个单词128维

                           但如果是Multi-Head Attention，则Shape为(batch, head数, 词数，d_model/head数)，
                           例如(1, 8, 7, 16)，即Batch_size为1，8个head，一句7个单词，128/8=16。
                           这样其实也能看出来，所谓的MultiHead其实就是将128拆开了。

                           在Transformer中，由于使用的是MultiHead Attention，所以Q,K,V的Shape只会是第二种。

    """

    # 获取d_model的值。之所以这样可以获取，是因为query和输入的shape相同，
    # 若为Self-Attention，则最后一维都是词向量的维度，也就是d_model的值。
    # 若为MultiHead Attention，则最后一维是 d_model / h，h为head数
    d_k = query.size(-1)
    # 执行QK^T / √d_k
    scores = torch.matmul(query, key.transpose(-2, -1)) / math.sqrt(d_k)

    # 执行公式中的Softmax
    # 这里的p_attn是一个方阵
    # 若是Self Attention，则shape为(batch, 词数, 次数)，例如(1, 7, 7)
    # 若是MultiHead Attention，则shape为(batch, head数, 词数，词数)
    p_attn = scores.softmax(dim=-1)

    # 最后再乘以 V。
    # 对于Self Attention来说，结果Shape为(batch, 词数, d_model)，这也就是最终的结果了。
    # 但对于MultiHead Attention来说，结果Shape为(batch, head数, 词数，d_model/head数)
    # 而这不是最终结果，后续还要将head合并，变为(batch, 词数, d_model)。不过这是MultiHeadAttention
    # 该做的事情。
    return torch.matmul(p_attn, value)


class MultiHeadedAttention(nn.Module):
    def __init__(self, h, d_model):
        """
        h: head的数量
        """
        super(MultiHeadedAttention, self).__init__()
        assert d_model % h == 0
        # We assume d_v always equals d_k
        self.d_k = d_model // h
        self.h = h
        # 定义W^q, W^k, W^v和W^o矩阵。
        # 如果你不知道为什么用nn.Linear定义矩阵，可以参考该文章：
        # https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/122797190
        self.linears = [
            nn.Linear(d_model, d_model),
            nn.Linear(d_model, d_model),
            nn.Linear(d_model, d_model),
            nn.Linear(d_model, d_model),
        ]

    def forward(self, x):
        # 获取Batch Size
        nbatches = x.size(0)

        """
        1. 求出Q, K, V，这里是求MultiHead的Q,K,V，所以Shape为(batch, head数, 词数，d_model/head数)
            1.1 首先，通过定义的W^q,W^k,W^v求出SelfAttention的Q,K,V，此时Q,K,V的Shape为(batch, 词数, d_model)
                对应代码为 `linear(x)`
            1.2 分成多头，即将Shape由(batch, 词数, d_model)变为(batch, 词数, head数，d_model/head数)。
                对应代码为 `view(nbatches, -1, self.h, self.d_k)`
            1.3 最终交换“词数”和“head数”这两个维度，将head数放在前面，最终shape变为(batch, head数, 词数，d_model/head数)。
                对应代码为 `transpose(1, 2)`
        """
        query, key, value = [
            linear(x).view(nbatches, -1, self.h, self.d_k).transpose(1, 2)
            for linear, x in zip(self.linears, (x, x, x))
        ]

        """
        2. 求出Q,K,V后，通过attention函数计算出Attention结果，
           这里x的shape为(batch, head数, 词数，d_model/head数)
           self.attn的shape为(batch, head数, 词数，词数)
        """
        x = attention(
            query, key, value
        )

        """
        3. 将多个head再合并起来，即将x的shape由(batch, head数, 词数，d_model/head数)
           再变为 (batch, 词数，d_model)
           3.1 首先，交换“head数”和“词数”，这两个维度，结果为(batch, 词数, head数, d_model/head数)
               对应代码为：`x.transpose(1, 2).contiguous()`
           3.2 然后将“head数”和“d_model/head数”这两个维度合并，结果为(batch, 词数，d_model)
        """
        x = (
            x.transpose(1, 2)
                .contiguous()
                .view(nbatches, -1, self.h * self.d_k)
        )

        # 最终通过W^o矩阵再执行一次线性变换，得到最终结果。
        return self.linears[-1](x)

接下来尝试使用一下：

# 定义8个head，词向量维度为512
model = MultiHeadedAttention(8, 512)
# 传入一个batch_size为2， 7个单词，每个单词为512维度
x = torch.rand(2, 7, 512)
# 输出Attention后的结果
print(model(x).size())

输出为：

torch.Size([2, 7, 512])

三. Masked Attention

3.1 为什么要使用Mask掩码

在Transformer中的Decoder中有一个Masked MultiHead Attention。本节来对其进行一个详细的讲解。

首先我们来复习一下Attention的公式：

其中：

$O_{n\times d_v}= \begin{bmatrix} o_1\\ o_2\\ \vdots \\ o_n\\ \end{bmatrix},~~~~A'_{n\times n} = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} & \cdots &\alpha'_{n,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots &\alpha'_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix}, ~~~~V_{n\times d_v}= \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots \\ v_n\\ \end{bmatrix}$

假设 $v_1, v_2, ... v_n)$ 对应着 $(机, 器, 学, 习, 真, 好, 玩)$ 。那么 $o_1, o_2, ..., o_n)$ 就对应着 $(机^{'}, 器^{'}, 学^{'}, 习^{'}, 真^{'}, 好^{'}, 玩^{'})$ 。其中 $机^{'}$ 包含着 $v_1$ 到 $v_n$ 的所有注意力信息。而计算 $机^{'}$ 时的 $(机, 器, ...)$ 这些字的权重就是 $A^{'}$ 的第一行的 $(\alpha'_{1,1}, \alpha'_{2,1}, ...)$ 。

如果上面的回忆起来了，那么接下来看一下Transformer的用法，假设我们是要用Transformer翻译“Machine learning is fun”这句话。

首先，我们会将“Machine learning is fun” 送给Encoder，输出一个名叫Memory的Tensor，如图所示：

在这里插入图片描述

之后我们会将该Memory作为Decoder的一个输入，使用Decoder预测。Decoder并不是一下子就能把“机器学习真好玩”说出来，而是一个词一个词说（或一个字一个字，这取决于你的分词方式），如图所示：
在这里插入图片描述

紧接着，我们会再次调用Decoder，这次是传入“<bos> 机”：
在这里插入图片描述
依次类推，直到最后输出<eos>结束：

在这里插入图片描述
当Transformer输出<eos>时，预测就结束了。

到这里我们就会发现，对于Decoder来说是一个字一个字预测的，所以假设我们Decoder的输入是“机器学习”时，“习”字只能看到前面的“机器学”三个字，所以此时对于“习”字只有“机器学习”四个字的注意力信息。

但是，例如最后一步传的是“<bos>机器学习真好玩”，还是不能让“习”字看到后面“真好玩”三个字，所以要使用mask将其盖住，这又是为什么呢？原因是：如果让“习”看到了后面的字，那么“习”字的编码就会发生变化。

我们不妨来分析一下：

一开始我们只传入了“机”（忽略bos），此时使用attention机制，将“机”字编码为了 $[0.13, 0.73, ...]$

第二次，我们传入了“机器”，此时使用attention机制，如果我们不将“器”字盖住的话，那“机”字的编码就会发生变化，它就不再是是 $[0.13, 0.73, ...]$ 了，也许就变成了 $[0.95, 0.81, ...]$ 。

这就会导致第一次“机”字的编码是 $[0.13, 0.73, ...]$ ，第二次却变成了 $[0.95, 0.81, ...]$ ，这样就可能会让网络有问题。所以我们为了不让“机”字的编码产生变化，所以我们要使用mask，掩盖住“机”字后面的字，也就是即使他能attention后面的字，也不让他attention。

3.2 如何进行mask掩码

要进行掩码，只需要对scores动手就行了，也就是 $A'_{n\times n}$ 。直接上例子：

第一次，我们只有 $v_1$ 变量，所以是：

$\begin{bmatrix} o_1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ \end{bmatrix}$

第二次，我们有 $v_1, v_2$ 两个变量：

$\begin{bmatrix} o_1\\ o_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{bmatrix}$

此时如果我们不对 $A'_{2\times 2}$ 进行掩码的话， $o_1$ 的值就会发生变化（第一次是 $\alpha'_{1,1}v_1$ ，第二次却变成了 $\alpha'_{1,1}v_1+\alpha'_{2,1}v_2$ ）。那这样看，我们只需要将 $\alpha'_{2,1}$ 盖住即可，这样就能保证两次的 $o_1$ 一致了。

所以第二次实际就为：

$\begin{bmatrix} o_1\\ o_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & 0 \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{bmatrix}$

依次类推，如果我们执行到第 $n$ 次时，就应该变成：

$\begin{bmatrix} o_1\\ o_2\\ \vdots \\ o_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots \\ v_n\\ \end{bmatrix}$

3.3 为什么是负无穷而不是0

按照上面的说法，mask掩码是0，但为什么源码中的掩码是 $- 1 e 9$ （负无穷）。Attention部分源码如下：

if mask is not None:
    scores = scores.masked_fill(mask == 0, -1e9)

p_attn = scores.softmax(dim=-1)

你仔细看，我们上面说的 $A'_{n\times n}$ 是什么，是softmax之后的。而源码中呢，源码是在softmax之前进行掩码，所以才是负无穷，因为将负无穷softmax后就会变成0了。

3.4. 训练时的掩码

通常我们在网上看Masked Attention相关的文章时，会说mask的目的是为了防止网络看到不该看到的内容。本节主要来解释一下这句话。

首先，我们需要了解一下Transformer的训练过程。

在Transformer推理时，我们是一个词一个词的输出，但在训练时这样做效率太低了，所以我们会将target一次性给到Transformer（当然，你也可以按照推理过程做），如图所示：

在这里插入图片描述

从图上可以看出，Transformer的训练过程和推理过程主要有以下几点异同：

源输入src相同：对于Transformer的inputs部分(src参数)一样，都是要被翻译的句子。
目标输入tgt不同：在Transformer推理时，tgt是从<bos>开始，然后每次加入上一次的输出（第二次输入为<bos> 我）。但在训练时是一次将“完整”的结果给到Transformer，这样其实和一个一个给结果上一致。这里还有一个细节，就是tgt比src少了一位，src是7个token，而tgt是6个token。这是因为我们在最后一次推理时，只会传入前n-1个token。举个例子：假设我们要预测<bos> 我爱你 <eos>（这里忽略pad），我们最后一次的输入tgt是<bos> 我爱你（没有<eos>），因此我们的输入tgt一定不会出现目标的最后一个token，所以一般tgt处理时会将目标句子删掉最后一个token。
输出数量变多：在训练时，transformer会一次输出多个概率分布。例如上图，我就的等价于是tgt为<bos>时的输出，爱就等价于tgt为<bos> 我时的输出，依次类推。当然在训练时，得到输出概率分布后就可以计算loss了，并不需要将概率分布再转成对应的文字。注意这里也有个细节，我们的输出数量是6，对应到token就是我爱你 <eos> <pad> <pad>，这里少的是<bos>，因为<bos>不需要预测。计算loss时，我们也是要和的这几个token进行计算，所以我们的label不包含<bos>。代码中通常命名为tgt_y。

其实总结一下就一句话：Transformer推理时是一个一个词预测，而训练时会把所有的结果一次性给到Transformer，但效果等同于一个一个词给，而之所以可以达到该效果，就是因为对tgt进行了掩码，防止其看到后面的信息，也就是不要让前面的字具备后面字的上下文信息。

可能看了这句总结还是很难理解，所以我们接下来来做个实验，我们的实验内容为：首先模拟Transformer的推理过程，然后再模拟Transformer的训练过程，看看训练时一次性给到所有的tgt和推理时一个一个给的结果是否一致。

这里我们要用到Pytorch中的nn.Transformer，用法可参考这篇文章。

首先我们来定义模型：

# 词典数为10， 词向量维度为8
embedding = nn.Embedding(10, 8)
# 定义Transformer，注意一定要改成eval模型，否则每次输出结果不一样
transformer = nn.Transformer(d_model=8, batch_first=True).eval()

接下来定义我们的src和tgt：

# Encoder的输入
src = torch.LongTensor([[0, 1, 2, 3, 4]])
# Decoder的输入
tgt = torch.LongTensor([[4, 3, 2, 1, 0]])

然后我们将[4]送给Transformer进行预测，模拟推理时的第一步：

transformer(embedding(src), embedding(tgt[:, :1]),
            # 这个就是用来生成阶梯式的mask的
            tgt_mask=nn.Transformer.generate_square_subsequent_mask(1))

tensor([[[ 1.4053, -0.4680,  0.8110,  0.1218,  0.9668, -1.4539, -1.4427,
           0.0598]]], grad_fn=<NativeLayerNormBackward0>)

然后我们将[4, 3]送给Transformer，模拟推理时的第二步：

transformer(embedding(src), embedding(tgt[:, :2]), tgt_mask=nn.Transformer.generate_square_subsequent_mask(2))

tensor([[[ 1.4053, -0.4680,  0.8110,  0.1218,  0.9668, -1.4539, -1.4427,
           0.0598],
         [ 1.2726, -0.3516,  0.6584,  0.3297,  1.1161, -1.4204, -1.5652,
          -0.0396]]], grad_fn=<NativeLayerNormBackward0>)

这个时候你有没有发现，输出的第一个向量和上面那个一模一样。

最后我们再将tgt一次性送给transformer，模拟训练过程：

transformer(embedding(src), embedding(tgt), tgt_mask=nn.Transformer.generate_square_subsequent_mask(5))

tensor([[[ 1.4053, -0.4680,  0.8110,  0.1218,  0.9668, -1.4539, -1.4427,
           0.0598],
         [ 1.2726, -0.3516,  0.6584,  0.3297,  1.1161, -1.4204, -1.5652,
          -0.0396],
         [ 1.4799, -0.3575,  0.8310,  0.1642,  0.8811, -1.3140, -1.5643,
          -0.1204],
         [ 1.4359, -0.6524,  0.8377,  0.1742,  1.0521, -1.3222, -1.3799,
          -0.1454],
         [ 1.3465, -0.3771,  0.9107,  0.1636,  0.8627, -1.5061, -1.4732,
           0.0729]]], grad_fn=<NativeLayerNormBackward0>)

看到没，前两个tensor和模拟推理时的输出结果一模一样。所以使用mask时，我们可以保证前面的词不会具备后面词的信息，这样就可以保证Transformer的输出不会因为传入词的多少而改变，从而我们就可以做到在训练时一次将tgt全部给到Transformer，却不会出现问题。这也就是人们常说的，防止网络训练时看到不该看到的内容。

可以尝试思考下为什么输出不会变，原因其实就是因为神经网络的本质就是不断的进行矩阵相乘，例如： $XW_1W_2W_3\cdots W_n \rightarrow O$ ， $X$ 为输入， $O$ 为输出。在这之中， $X$ 的第二个行向量本身就不会让你的第一个行向量的结果改变。在Transformer中多个行向量会互相影响是因为Attention机制，因为里面存在有 $X$ 自身的运算，类似于 $X\cdot X$ ，但我们通过mask可以保证 $X\cdot Mask\_X$ 的第二个行向量不要影响到第一个行向量。这里就不展开讲解了，可以尝试用纸笔算一下。