1.什么是群

群（Group），是一种集合加上一种运算组成的结构。假如我们把集合记作G，运算记作$\begin{array}{l}\bullet \end{array}$，它要求集合和运算满足下面几个条件：

1. 闭合律：任意a,b∈G,则a·b =c∈G
2. 结合律：所有a,b,c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)
3. 单位律：存在单位元I∈G,使得I·g=g·I=g
4. 逆：任意元素g,存在一个元素h∈G,使得h·g=g·h=I

特殊正交群和特殊欧式群就是一种群

1. 旋转矩阵构成特殊正交群SO
2. 位姿变换矩阵构成了特殊欧式群SE

他们对应的运算并是矩阵乘法。

2.什么是李群

李群是连续的群（导数连续）。上面的特殊正交群、特殊欧式群，都是对时间连续的群，都是李群的一种。

可以看出$\begin{array}{l}\stackrel{\bullet }{R}(t)R^T(t)\end{array}$是一个反对称矩阵。对于一个反对称矩阵，我们能找到一个向量与之对应，我们用$\begin{array}{l}{a}^{\wedge }\end{array}$来表示，后面我们也会用一个向量加一个尖尖的方式来表示该向量对应的反对称矩阵：

我们用一个三维向量$\begin{array}{l}\varphi (t{)}^{\wedge }\end{array}$来与$\begin{array}{l}\stackrel{\bullet }{R}(t)R^T(t)\end{array}$对应，于是：

最终得到$\begin{array}{l}R(t)=exp({\varphi }_0^{\wedge }t)\end{array}$
于是我们有了一个向量$\begin{array}{l}\varphi \end{array}$ ，它与旋转矩阵相对应，描述了R在局部的导数关系，实际上 $\begin{array}{l}\varphi \end{array}$正是特殊正交群SO(3)对应的李代数。

3.什么是李代数

李代数是李群在单位元素处的正切空间，正切切空间本身是一个向量空间。什么叫“正切空间”？以不太严谨的例子来说明的话，李群就像一个无法定义加运算的曲面，对于曲面上的两点，相加后不一定还在这个曲面上了。而李代数就像这个曲面对应的切面，在切线附近具有和原曲面相近的性质。

就像我们可以用某个曲线的切线，来近似代替切点附近的曲线，进行一些操作。于是通过李代数，我们终于可以进行求导等操作了。

每个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群的局部性质（想象一下刚刚曲面与切面的关系）。想要对作为李群的旋转矩阵求导，就需要用到李代数。

李代数由一个集合，一个数域，和一个二元运算组成，其中的二元运算被称为李括号，用这样来表示：[X, Y]。对于上面的$\begin{array}{l}\varphi \end{array}$ ，我们这样定义它的二元运算，其中的 $\vee$ 表示将反对称矩阵转换回向量的形式：

于是李代数完整的数学定义如下：

李代数满足下列性质：
封闭性：任意X，Y∈V，则[X,Y]∈V
双线性：任意X,Y,Z∈V,a,b∈F,有[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]。
自反性：任意X∈V, [X,X]=0。
雅可比等价：任意X,Y,Z∈V,[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0。
李群和李代数可通过指数/对数映射寻求对应关系：

李群和李代数求解代码：

%二维情形
R = rot2(0.3)%李群
S = logm(R)%已知李群求解李代数
expm(S)%已知李代数求解李群
运行结果：
R =
    0.9553   -0.2955
    0.2955    0.9553
S =
         0   -0.3000
    0.3000         0
ans =
    0.9553   -0.2955
    0.2955    0.9553
%三维情形
R = rotx(0.3);
S = logm(R);
expm(S)
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