Stata:工具变量法(两阶段最小二乘法2SLS)——解决模型内生性
计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用,一旦二者出现相关性往往无法解决,此时OLS估计可能不一致,问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以
y
=
a
0
+
a
1
∗
c
+
u
i
y=a0+a1*c+ui
y=a0+a1∗c+ui为例,
y
y
y为被解释变量,
c
c
c为解释变量,但模型有内生性,此时选取工具变量为
x
x
x。
工具变量的选择
首先工具变量的选择要满足两个条件:
- 相关性:工具变量与内生解释变量相关,即 C o v ( x , c ) ≠ 0 Cov(x,c)≠0 Cov(x,c)=0
- 外生性:工具变量与 u i ui ui不相关,即 C o v ( x , u i ) = 0 Cov(x,ui)=0 Cov(x,ui)=0
两阶段最小二乘法
- 核心思路:c与ui相关,将c中与ui相关的部分分力出去,只留下与其不相关部分;其中转换工具被称为工具变量(IV)。
第一阶段
构造 c = b 0 + b 1 ∗ x + v i c=b0+b1*x+vi c=b0+b1∗x+vi,通过OLS估计的参数,拟合出 c ^ \hat{c} c^。此时c与ui相关, c ^ \hat{c} c^与ui不相关
第二阶段
通过y与
c
^
\hat{c}
c^构模型
y
=
b
0
+
b
1
∗
c
^
+
e
i
y=b0+b1*\hat{c}+ei
y=b0+b1∗c^+ei,估计出
b
1
,
b
0
b1,b0
b1,b0即为需求参数。
tips:证明
c
^
\hat{c}
c^与
e
i
ei
ei正交
通过模型
c
=
a
0
+
a
1
∗
x
+
v
i
c=a0+a1*x+vi
c=a0+a1∗x+vi估计出
a
0
,
a
1
a0,a1
a0,a1,再拟合出
c
^
=
a
0
+
a
1
∗
x
\hat{c}=a0+a1*x
c^=a0+a1∗x
原模型
y
=
a
0
+
a
1
∗
c
+
u
i
y=a0+a1*c+ui
y=a0+a1∗c+ui可化为:
y
=
a
0
+
a
1
∗
c
^
+
[
a
1
∗
(
c
−
c
^
)
+
u
i
]
y=a0+a1*\hat{c}+[a1*(c-\hat{c})+ui]
y=a0+a1∗c^+[a1∗(c−c^)+ui]
其中
e
i
=
[
a
1
∗
(
c
−
c
^
)
+
u
i
]
ei=[a1*(c-\hat{c})+ui]
ei=[a1∗(c−c^)+ui]
C
o
v
(
c
^
,
e
i
)
=
C
o
v
(
c
^
,
u
i
)
+
a
1
C
o
v
(
c
^
,
c
−
c
^
)
Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})
Cov(c^,ei)=Cov(c^,ui)+a1Cov(c^,c−c^)
- 其中 c − c ^ = v i , C o v ( c ^ , v i ) = 0 c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0 c−c^=vi,Cov(c^,vi)=0,所以 a 1 C o v ( c ^ , c − c ^ ) = 0 a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0 a1Cov(c^,c−c^)=0
- 由于外生性要求:工具变量与
u
i
ui
ui不相关,即
C
o
v
(
x
,
u
i
)
=
0
Cov(x,ui)=0
Cov(x,ui)=0,而
x
x
x与
c
^
\hat{c}
c^为线性函数,所以
C
o
v
(
c
^
,
u
i
)
=
0
Cov(\hat{c},ui)=0
Cov(c^,ui)=0
进而得出 c ^ \hat{c} c^与 e i ei ei正交,即 C o v ( c ^ , e i ) = 0 Cov(\hat{c},ei)=0 Cov(c^,ei)=0
相关检验
首先对于选用OLS还是工具变量法,需要进行豪斯曼检验
此方法中工具变量的选取最为关键,可能有三种情况:
- 不可识别:需要工具变量个数<内生变量个数
- 恰好识别:需要工具变量个数=内生变量个数
- 过度识别:需要工具变量个数>内生变量个数
其对应需要进行的检验为: - 不可识别检验
- 弱工具变量检验
- 过度识别检验
代码相关
https://blog.csdn.net/weixin_47325163/article/details/119941326?spm=1001.2014.3001.5501
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