1. 背景

前段时间复习完了高数第六章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 几何应用

2.1. 平面图形的面积

可通过二重积分 $S={\iint }_{D}1d\sigma$ 进行计算。

1. 若平面域 $D$ 由曲线 $y=f(x),y=g(x),(f(x)\ge g(x)),x=a,x=b,)a<b)$ 所围成，则平面域 $D$ 的面积为

$$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

2. 若平面域 $D$ 由曲线 $\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta (\alpha <\beta )$ 所围成，则其面积为

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

2.2. 旋转体体积

可通过二重积分 $V=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma$ 和 $V=2\pi {\iint }_{D}xd\sigma$ 进行计算。

若区域 $D$ 由 $y=f(x),(f(x)\ge 0)$ 和直线 $x=a,x=b,(0\le a\le b)$ 及 $x$ 轴所围成的，则

1. 区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$

2. 区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$$V_y=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

3. 曲线弧长

• $C:y=y(x),a\le x\le b$

$$s={\int }_a^b\sqrt[]{1+y^{\prime 2}}dx$$

• $C:\{\begin{array}{rl}x=x(t)& \\ y=y(t)& \end{array},\alpha \le t\le \beta$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt[]{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

• $C:\rho =\rho (\theta ),\alpha \le \theta \le \beta$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt[]{{\rho }^2+{\rho }^{\prime 2}}d\theta$$

2.3. 旋转体侧面积

曲线 $y=f(x),(f(x)\ge 0)$ 和 直线 $x=a,x=b,(0\le a\le b)$ 及 $x$ 轴所围成区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的侧面积为

$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt[]{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

3. 物理应用

1. 压力
2. 变力做功
3. 引力