在多体动力学和机器人控制中，我们经常面临一个头疼的问题：已知物体在惯性系下的运动，以及观察者（动系）本身的疯狂运动（平动+转动+角加速），如何求出物体相对于观察者的运动？本文将通过一个经典的矢量运算案例，带你手推“点的合成运动”逆运算，并附上 Python 验证代码。

模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于工业过程控制、化工系统、汽车电子、航空航天等领域。MPC通过利用系统的动态模型，预测未来行为，并在此基础上优化当前控制输入，从而实现对复杂多变量系统的精准控制。本课程将深入探讨MPC的理论基础、设计方法及其实际应用，帮助学生掌握这一强大的控制工具，并能够在实际工程中进行有效应用和创新。

神经网络（Neural Networks）是一种模拟生物神经系统的计算模型，旨在通过大量相互连接的神经元（节点）来处理和学习复杂的数据模式。其基本组成包括输入层、隐藏层和输出层。每一层由若干神经元组成，神经元之间通过权重（Weights）连接，权重决定了信号传递的强度和方向。

在开普勒和牛顿的经典轨道理论中，我们习惯于将天体运动简化为理想的两体问题：一个质点在另一个中心天体引力作用下的运动。这一简化模型为我们提供了轨道运动的基本特性：椭圆、抛物线或双曲线轨道，以及角动量守恒、面积速率不变等重要性质。然而，现实中的天体运动远比理想两体问题复杂得多。任何偏离理想两体问题假设的因素，都会导致实际轨道与理论预测产生偏差。这些因素被称为"摄动"（Perturbations）。

在理论力学中，质点和刚体是两种基本的物理模型，它们为我们理解和分析各种物体的运动提供了简化而有效的工具。质点是指质量集中特定于一个点的理想化物体，其自身的大小、形状可以忽略不计。质点模型在处理复杂物体的运动时具有重要意义，因为它大大简化了问题的分析。

对数函数在数学和计算机科学中扮演着重要的角色，从科学计算到数据分析，无所不包。那么，计算机在底层是如何高效且准确地计算对数函数的呢？本文将从基础原理出发，详细解析计算机计算对数函数的过程，以理解其背后的机制。

最小作用量原理是物理学中的一个基本概念，它描述了物理系统在演化过程中选择的路径是使作用量达到极值的路径。这一原理不仅在经典力学中具有重要地位，还在量子力学、相对论和场论中得到了广泛应用。通过最小作用量原理，我们可以推导出系统的运动方程，如欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程。在控制理论中，最优控制问题的核心是找到一个控制策略，使得系统的性能指标达到最优。性能指标通常是一个关于状态和控制输入的积分量，类似

基于对偶四元数的航天器姿轨耦合建模对偶四元数能一体化描述空间刚体转动和平动，基于对偶四元数建立航天器相对运动的姿轨耦合动力学模型。对偶四元数表示的动力学模型形式简洁，具有明确的物理意义，与四元数描述的相对姿态动力学模型形式相似，继承了四元数不含三角运算、无奇异性的优点。研究现状传统的航天器六自由度建模多采用“独立-耦合”方法，即用不同的数学方法描述航天器姿态运动和轨道运动，然后考虑姿轨耦合因...

位置向量（rr：在三维空间中的具体位置，通常表示为xyz(x, y, z)xyz。速度向量（vv：在三维空间中的速度，表示为vxvyvzvx​vy​vz​。状态向量的引入源于动力学系统的描述方法，它能够在一个特定的时刻全面地描述天体的运动状态。与轨道根数不同，状态向量直接反映了天体在空间中的即时位置和速度，适用于实时计算和导航。通过状态向量，我们可以进行精确的轨道预测和轨道调整，这对于卫星的在轨运

最优控制问题：在满足系统方程的约束条件下，在容许控制域中确定一个最优控制律，使得系统状态从已知初态转移到要求的目标集，并使性能指标达到极值。