Layer Normalization（层归一化）是一种用于深度学习神经网络的归一化方法，它通过对神经元的输入进行归一化，使每一层的输入保持稳定，从而减缓梯度消失或梯度爆炸问题。与批量归一化（Batch Normalization）不同，LayerNorm 不依赖于 mini-batch，而是对每一个样本的每一层神经元进行归一化，这使其在序列建模、深层网络和小批量训练中表现出色。

1. Layer Normalization（层归一化）

(1) Layer Normalization 的定义

Layer Normalization 的目标是在神经网络的每一层中，对该层所有神经元的激活值进行归一化。具体来说，LayerNorm 将每一层的激活值转换为均值为 0、标准差为 1 的分布，然后对结果进行缩放和偏移。

给定神经网络中某一层的输入向量 $\mathbf{z}=(z_1,z_2,\dots ,z_H)$，其中 $H$ 是该层的神经元个数，LayerNorm 的计算公式如下：

$${\hat{z}}_i=\frac{z_i-\mu }{\sigma }$$

其中：

• $\mu$ 是该层所有神经元激活值的均值：$\mu =\frac{1}{H}{\sum }_{i=1}^H{z}_i$
• $\sigma$ 是该层所有神经元激活值的标准差：$\sigma =\sqrt{\frac{1}{H}{\sum }_{i=1}^H(z_i-\mu {)}^2+ϵ}$，其中 $ϵ$ 是一个小的正数，用于防止除零错误。

经过归一化后，每个归一化后的激活值 ${\hat{z}}_i$ 会进行缩放和偏移操作，以保持模型的表达能力。这个过程通过引入可学习的参数 $\gamma$ 和 $\beta$ 来完成：
$$y_i=\gamma {\hat{z}}_i+\beta$$
其中：

• $\gamma$ 是缩放系数，用于控制归一化后的尺度（可学习参数）。
• $\beta$ 是偏移系数，用于控制归一化后的位移（可学习参数）。

(2) Layer Normalization 的完整过程

1. 计算每一层所有神经元激活值的均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$。
2. 通过公式 ${\hat{z}}_i=\frac{z_i-\mu }{\sigma }$ 对每个激活值进行归一化。
3. 通过可学习参数 $\gamma$ 和 $\beta$ 对归一化后的激活值进行缩放和偏移：
   $$y_i=\gamma {\hat{z}}_i+\beta$$
4. 输出归一化后的激活值 $y_i$。

LayerNorm 的作用

Layer Normalization 通过对每一层神经元的激活值进行归一化，使得激活值保持在一个稳定的范围内，防止了激活值过大或过小导致的梯度消失或梯度爆炸问题。相比 Batch Normalization，LayerNorm 更适用于小批量训练、序列建模（如 RNN）等场景，因为它不依赖于 mini-batch 的统计信息。

2. Layer Normalization 解决梯度消失问题举例

假设我们有一个三层的神经网络，每层有 3 个神经元，激活函数为 sigmoid。为了更好理解，我们给每一层起特定的名称：

• 输入处理层：接收输入并进行初步处理。
• 特征提取层：提取更高层次的特征。
• 输出预测层：根据提取到的特征进行最终的预测。

由于 sigmoid 激活函数的导数在接近 0 或 1 时非常小，梯度在反向传播时容易逐层衰减，尤其在深层网络中，靠近输入处理层的梯度最容易消失。

1. 使用 LayerNorm 之前的情况

1.1 前向传播

• 输入处理层：对于输入 $x=[1,2,3]$，假设初始权重矩阵 $W_1$ 和偏置项 $b_1$ 是随机的，得到该层的输出：
  $$z_{\text{处理层}}=W_1\cdot x+b_1=[4,5,6]$$
  对每个神经元应用 sigmoid 激活函数：
  $$a_{\text{处理层}}=\sigma (z_{\text{处理层}})=[0.98,0.99,0.997]$$
  因为 sigmoid 的输出接近 1，导数将非常小。

• 特征提取层：使用上一层的输出作为输入，计算输出：
  $$z_{\text{提取层}}=W_2\cdot a_{\text{处理层}}+b_2=[6.5,7,7.5]$$
  激活函数输出：
  $$a_{\text{提取层}}=\sigma (z_{\text{提取层}})=[0.9985,0.999,0.9994]$$

• 输出预测层：计算最终的输出：
  $$z_{\text{预测层}}=W_3\cdot a_{\text{提取层}}+b_3=8$$
  激活函数输出：
  $$a_{\text{预测层}}=\sigma (z_{\text{预测层}})=0.9997$$

1.2 反向传播中的梯度消失（正确的梯度衰减）

在反向传播时，梯度从输出层开始逐层向输入层传递，每一层的梯度会乘以该层激活函数的导数。

• 输出预测层的梯度：由于输出层的激活值接近 1，但还没有完全达到极端值，sigmoid 的导数仍有一定的值。假设导数 ${\sigma }^{\prime }(z_{\text{预测层}})\approx 0.3$。此时梯度仍然较大。

• 特征提取层的梯度：激活值接近 1，sigmoid 的导数非常小，假设 ${\sigma }^{\prime }(z_{\text{提取层}})\approx 0.01$。由于导数很小，梯度被极大缩减。

• 输入处理层的梯度：激活值也非常接近 1，sigmoid 的导数非常小，假设 ${\sigma }^{\prime }(z_{\text{处理层}})\approx 0.001$。此时梯度几乎完全消失，导致靠近输入层的参数几乎无法更新。

通过这个过程，我们可以看到，梯度消失的现象主要发生在靠近输入处理层的地方，梯度在传播时逐层减小，最终导致输入层的梯度几乎为 0。

2. 使用 Layer Normalization 之后的情况

为了缓解梯度消失，我们在每一层后引入 LayerNorm，帮助每一层输入保持稳定的均值和方差，从而防止梯度过度衰减。

2.1 前向传播加入 LayerNorm

• 输入处理层：对该层的输出进行 LayerNorm，假设归一化后均值为 0，标准差为 1：
  $$\text{LayerNorm}(z_{\text{处理层}})=\frac{z_{\text{处理层}}-{\mu }_1}{{\sigma }_1}=[-1,0,1]$$
  然后应用 sigmoid 激活函数：
  $$a_{\text{处理层}}=\sigma ([-1,0,1])=[0.27,0.5,0.73]$$
  激活值不再接近 0 或 1，避免了梯度过小的情况。

• 特征提取层：对该层的输出进行 LayerNorm，假设归一化后均值和标准差为 0 和 1：
  $$\text{LayerNorm}(z_{\text{提取层}})=[-0.5,0,0.5]$$
  激活函数输出：
  $$a_{\text{提取层}}=\sigma ([-0.5,0,0.5])=[0.38,0.5,0.62]$$

• 输出预测层：可以类似处理，激活值将保持在合理范围内。

2.2 反向传播中的梯度优化

由于 LayerNorm 保持了每一层的输入在合理的范围内，sigmoid 的导数不会变得过小，梯度得以保持。

• 输出预测层的梯度：激活值没有过度接近 1，梯度较大。

• 特征提取层的梯度：导数值较大，假设 ${\sigma }^{\prime }(z_{\text{提取层}})\approx 0.23$，梯度得以有效传递。

• 输入处理层的梯度：激活值也没有接近 0 或 1，导数值较大，假设 ${\sigma }^{\prime }(z_{\text{处理层}})\approx 0.25$，确保了梯度不会完全消失。

通过 LayerNorm 的归一化，每一层的输入值保持在合理范围内，防止了激活函数导数变得过小，避免了梯度消失现象。

总结

通过上述例子，可以看到在引入 LayerNorm 之后，激活值的范围被控制在合理的区间，避免了梯度快速衰减的情况，最终有效缓解了梯度消失问题。LayerNorm 在深层神经网络中特别有效，能保证每一层的输入稳定，进而保证梯度能够有效传递到靠近输入层的地方。