按照同样的"查说明书"方式，把 RK2 的两种常见形式拆开。你之前看到的两种 RK2（Heun 法 和 中点法）对应两张不同的布彻表。

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第一种：你之前图片里的 Heun 法（改进欧拉法）

你之前看到的公式：
$$\begin{array}{rl}{K}_1& =f(t_n,y_n)\\ K_2& =f(t_n+h,y_n+h{K}_1)\\ K& =\frac{1}{2}(K_1+K_2)\\ y_{n+1}& =y_n+hK\end{array}$$

对应布彻表：

$$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ & \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}$$

逐行读表

第 1 行（蓝色） → $K_1$

位置	数字	含义
最左	$0$	时间节点：在 $t+0\cdot h=t_n$ 采样
同行右	$0$	状态增量：$y_n+h\cdot 0=y_n$（不加增量）
底行	$\frac{1}{2}$	最终权重：乘 $\frac{1}{2}$

→ $K_1=f(t_n,y_n)$

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第 2 行（红色） → $K_2$

位置	数字	含义
最左	$1$	时间节点：在 $t_n+1\cdot h=t_n+h$ 采样
同行右	$1$	状态增量：$y_n+h\cdot 1\cdot K_1=y_n+h{K}_1$
底行	$\frac{1}{2}$	最终权重：乘 $\frac{1}{2}$

→ $K_2=f(t_n+h,y_n+h{K}_1)$

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底行横线下面 → 最终推进

$$y_{n+1}=y_n+h\cdot \left(\frac{1}{2}{K}_1+\frac{1}{2}{K}_2\right)$$

这就是你图片里的 $y_{n+1}=y_n+h\cdot \frac{1}{2}(K_1+K_2)$。

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第二种：你第一张图里的中点法（Midpoint Method）

你第一张图看到的公式：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\ast }(t+\frac{1}{2}\tau )& =x(t)+\frac{1}{2}\tau f(x(t),t)\\ x(t+\tau )& =x(t)+\tau f(x^{\ast }(t+\frac{1}{2}\tau ),t+\frac{1}{2}\tau )\end{array}$$

对应布彻表：

$$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ & 0& 1\end{array}$$

逐行读表

第 1 行（蓝色） → $K_1$

位置	数字	含义
最左	$0$	在起点 $t$ 采样
同行右	$0$	状态不加增量
底行	$0$	最终权重为 0（不参与最终推进）

→ $K_1=f(t,x)$，但算完后直接扔掉，只用来算下一步。

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第 2 行（红色） → $K_2$

位置	数字	含义
最左	$\frac{1}{2}$	在 $t+\frac{1}{2}\tau$ 采样
同行右	$\frac{1}{2}$	状态增量：$x+\frac{\tau }{2}{K}_1$
底行	$1$	最终权重为 1（全部用它）

→ $K_2=f(t+\frac{\tau }{2},x+\frac{\tau }{2}{K}_1)$

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底行横线下面 → 最终推进

$$x(t+\tau )=x(t)+\tau \cdot \left(0\cdot K_1+1\cdot K_2\right)=x(t)+\tau K_2$$

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对比：为什么都叫 RK2，但表不同？

	Heun 法	中点法
采样位置	起点 + 终点	起点 + 中点
$K_1$ 权重	$\frac{1}{2}$	$0$（只当跳板）
$K_2$ 权重	$\frac{1}{2}$	$1$（全权负责）
几何直觉	起点斜率和终点预估斜率取平均	只用中点斜率推进整步

两者都是 2 级（2 次求 $f$）、2 阶（全局误差 $O(h^2)$），所以都叫 RK2。但布彻表里的数字不同，对应不同的"采样策略"。

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一句话总结读表规则

每一行 = 算一个 $K_i$。
最左数 = 在哪个时间点采样；
同行右边数 = 状态增量由哪些前面的 $K$ 加权组成；
底行对应数 = 这个 $K_i$ 在最终推进时占多大权重。
权重为 0 = 这个 $K$ 只当"跳板"，不直接参与最终推进。