【C++进阶】---- AVL树
1.AVL的概念
• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962 年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐ 如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
2.AVL树的实现
2.1AVL树的结构
AVLTree中的元素是pair，AVLTree节点需要包含指向左孩子和右孩子的指针_left和_right，还需要一个指向父亲节点的指针_parent,后续旋转操作和更新平衡因子的时候需要使用，还有一个平衡因子_bf
// AVL树节点结构
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
int _bf;// 平衡因子
// 构造函数
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
// AVL树结构
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2AVL树的插⼊
2.2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡(abs(_bf)>1)，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树 的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
2.2.2 平衡因⼦更新
更新原则：
• 平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停⽌条件：
• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向 上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：
1、把 parent⼦树旋转平衡。
2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。
• 不断更新，最多更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。
2.2.3 插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
根据二叉搜索树的规则找到新节点cur的插入位置，并判断cur是parent的左孩子还是右孩子，需要注意别遗漏了cur->_parent=parent，因为AVLTreeNode的结构里面有个指向其父亲节点的指针_parent。
插入新节点后，开始更新平衡因子，同时判断是否需要继续向上更新平衡因子。且不平衡的时候进行旋转处理。
// 插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)// 新节点需要插入至叶子位置
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
// 不插入相同Key值pair元素
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_parent = parent;
// 判断新节点是parent的左孩子还是右孩子
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
// 更新平衡因子，最多更新至_root节点
while (parent)
{
// 更新平衡因子
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
// 判断是否需要继续向上更新
if (parent->_bf == 0)
{
// 高度没有发生变化，停止更新
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
// 高度发生变化，向上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
// 不平衡了，旋转处理
break;
}
else
{
// 平衡因子异常，可能出现bug
assert(false);
}
}
return true;
}2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。
2.3.2 右单旋
• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进⾏了详细描述。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为5<b⼦树的值<10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
图1：右单旋的情况是parent的平衡因子为-2 && cur的平衡因子为-1,我们设subL为parent的左孩子，subLR为subL的右孩子。
右单旋需要把parent变成subL的右孩子，把subLR变成parent的左孩子。
通过以下三种情况，我们可以看出，不管a、b、c三个子树的高度h是多少，新节点插入到a子树的左边还是右边，右单旋后subL和parent的平衡因子的结果是一样的，都是0。
这点很重要，因为后续的两种旋转：右左双旋、左右双旋，新节点是左孩子或右孩子，对旋转后的平衡因子是有影响的。
2.3.3 右单旋代码实现
// 右单旋
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 把parent变成subL的右子树，把sunLR变成parent的左子树
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
// 更新subL、parent、subLR的_parent的指向
Node* pParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (subLR)
{
// subLR是subL的右子树b，右子树可能不存在
subLR->_parent = parent;
}
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
if (pParent)
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
else
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
// 更新平衡因子
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}2.3.4 左单旋
• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为10
2.3.5 左单旋代码实现
// 左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 把parent变成subR的左子树，把sunRL变成parent的右子树
subR->_left = parent;
parent->_right = subRL;
// 更新subL、parent、subLR的_parent的指向
Node* pParent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (subRL)
{
// subLR是subL的右子树b，右子树可能不存在
subRL->_parent = parent;
}
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接
if (pParent)
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subR;
}
else
{
pParent->_right = subR;
}
subR->_parent = pParent;
}
else
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
// 更新平衡因子
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}2.3.6 左右双旋
通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边 ⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边 ⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。
• 图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引 发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
总结一下以下图中场景的结果，我们需要先以subL为旋转点进行左单旋，再以parent为旋转点进行右单旋，最终subLR变成这颗子树的根，subL变成subLR的左子树，parent变成subLR的右子树，subLR的左子树变成subL的右子树，subLR的右子树变成parent的左子树。
而新节点插入至subLR的左子树还是右子树就会对subL和parent的平衡因子产生影响。
我们需要分两大类三种情况进行讨论：
1.subLR左右子树高度>=1
a.新节点插入到subLR的左子树,subL的平衡因子为0，parent的平衡因子为1
b.新节点插入到subLR的右子树,subL的平衡因子为-1，parent的平衡因子为0
2.subLR左右子树的高度=0，此时subLR就是新插入的节点，subL和parent均为叶子节点，即没有孩子，平衡因子为0
而我们只需要注意subLR的平衡因子即可，_bf=-1是a情况，_bf=1是b情况，_bf=0就是第二种情况
2.3.7 左右双旋代码实现
// 左右双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 先以subL为旋转点进行左单旋，再以parent为旋转点进行右单旋
RotateL(subL);
RotateR(parent);
// 判断新插入点的位置
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}2.3.8 右左双旋
• 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的 细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单 旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 ⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦， 引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋 转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
总结：先以subR为旋转点进行右单旋，在以parent为旋转点进行左单旋。
旋转后sunRL成为该颗子树的根，subR变成subRL的右子树，parent变成subRL的左子树，subRL的左子树变成parent的右子树，subRL的右子树变成subR的左子树。
最后根据subRL的_bf更新subR和parent的_bf
1.subRL->_bf=-1，subR->_bf=0,parent->_bf=1
2.subRL->_bf=1，subR->_bf=-1,parent->_bf=0
3.subRL->_bf=0，subR->_bf=0,parent->_bf=0
2.3.9 右左双旋代码实现
// 右左双旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
// 先以subL为旋转点进行左单旋，再以parent为旋转点进行右单旋
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 判断新插入点的位置
if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}2.4 AVL树的查找
那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)
// 节点查找
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.5 AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点 的平衡因⼦更新是否出现了问题
int Height()
{
return _Height(_root);
}
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
void InOrder()
{
return _InOrder(_root);
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
private:
// 节点个数
int _Size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
// 中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << " 平衡因子：" << root->_bf << endl;
_InOrder(root->_right);
}
// 高度
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
// 验证是否是平衡树
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}#include"AVLTree.h"
// 测试代码
void TestAVLTree1()
{
AVLTree<int, int> t;
// 常规的测试⽤例
int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例
//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
for (auto e : a)
{
t.Insert({ e, e });
}
t.InOrder();
cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{
const int N = 1000000;
vector<int> v;
v.reserve(N);
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
v.push_back(rand() + i);
}
size_t begin2 = clock();
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : v)
{
t.Insert(make_pair(e, e));
}
size_t end2 = clock();
cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
cout << t.IsBalanceTree() << endl;
cout << "Height:" << t.Height() << endl;
cout << "Size:" << t.Size() << endl;
size_t begin1 = clock();
// 确定在的值
/*for (auto e : v)
{
t.Find(e);
}*/
// 随机值
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
t.Find((rand() + i));
}
size_t end1 = clock();
cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}
int main()
{
//TestAVLTree1();
TestAVLTree2();
return 0;
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