1. ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等 值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

2. ⼆叉搜索树的性能分析

增删查改时间复杂度

平均情况：O(log n)   最坏情况：O(n)

⼆分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。 2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。

不带value的树基本结构：

namespace key
{
	template<class k>
	struct BSTNode
	{
		k _key;
		BSTNode<k>* _left;
		BSTNode<k>* _right;
		BSTNode(const k& key)
			:_key(key)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{
		}
	};

	template<class k>
	class BSTree
	{
		typedef BSTNode<k> Node;
	public:

//函数....

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

3. ⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

bool Insert(const k& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	Node* _cur = _root;
	Node* _parent = nullptr;

	while (_cur)
	{
		if (_cur->_key > key)
		{
			_parent = _cur;
			_cur = _cur->_left;
		}
		else if (_cur->_key < key)
		{
			_parent = _cur;
			_cur = _cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	_cur = new Node(key);
	if (_parent->_key > key) _parent->_left = _cur;
	else   _parent->_right = _cur;

	return true;
}

递归实现：

bool _Insert(Node*& root, const k& x)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(x);
		return true;
	}
	if (root->_key < x)
		return _Insert(root->_right, x);
	else if (root->_key < x)
		return _Insert(root->_right, x);
	else
		return false;
}

4. ⼆叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

 4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回

bool Find(const k& key)
{

	Node* _cur = _root;

	while (_cur)
	{
		if (_cur->_key > key)
		{
			_cur = _cur->_left;
		}
		else if (_cur->_key < key)
		{
			_cur = _cur->_right;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}

	return false;
}

5. ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

 1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

 3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

 4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

 3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

 4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const k& key)
{
	Node* _cur = _root;
	Node* _parent = nullptr;

	while (_cur)
	{
		if (_cur->_key > key)
		{
			_parent = _cur;
			_cur = _cur->_left;
		}
		else if (_cur->_key < key)
		{
			_parent = _cur;
			_cur = _cur->_right;
		}
		else
		{
			if (_cur->_left == nullptr)
			{
				if (_cur != _root)
				{
					if (_cur == _parent->_left) _parent->_left = _cur->_right;
					else _parent->_right = _cur->_right;
				}
				else
				{
					_root = _cur->_right;
				}
				delete _cur;
			}
			else if (_cur->_right == nullptr)
			{
				if (_cur != _root)
				{
					if (_cur == _parent->_left) _parent->_left = _cur->_left;
					else _parent->_right = _cur->_left;
				}
				else
				{
					_root = _cur->_left;
				}
				delete _cur;
			}
			else
			{
				Node* minrightparent = _cur;
				Node* minright = _cur->_right;

				while (minright->_left)
				{
					minrightparent = minright;
					minright = minright->_left;
				}
				swap(_cur->_key, minright->_key);
				if (minright == minrightparent->_left)
					minrightparent->_left = minright->_right;
				else
					minrightparent->_right = minright->_right;

				delete minright;
			}
			return true;
		}
	}

	return false;
}

6.⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

6.1key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。

6.2key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树性质了，可以修改value。