P17013 [GESP202606 六级] 满二叉树

题目描述

给定一棵包含 $n$ 个结点的有根二叉树，结点依次以 $1,2,\dots ,n$ 编号，根结点编号为 $1$。

对于结点 $i$，其左儿子的编号记为 $l_i$，右儿子编号记为 $r_i$。特别地，如果左儿子不存在则 $l_i=0$，如果右儿子不存在则 $r_i=0$。

树中每个结点都对应一棵以其为根的子树。请你求出给定有根树的所有 $n$ 棵子树中，有多少棵子树是满二叉树。

满二叉树是指所有叶子深度均相同，且除叶子外均有两个儿子的二叉树，例如以下三棵二叉树均是满二叉树：

()   ()        ()
    /  \      /  \
   ()  ()   ()    ()
           /  \  /  \
          ()  ()()  ()

在上面这棵有 $3$ 个节点的二叉树中，有 $3$ 个子树是满二叉树（包括整个树本身，及所有的单个叶子节点）；

又例如，

   (1)
   / \
 (2) (3)
     / \
   (4) (5)

在上面这棵有 $5$ 个节点的二叉树中，有 $4$ 个子树是满二叉树（包括节点 $3$ 的子树，以及所有单个叶子节点）。

输入格式

第一行，一个正整数 $n$，表示有根二叉树结点数量。

接下来 $n$ 行，每行两个非负整数 $l_i,r_i$，表示结点 $i$ 的左儿子编号和右儿子编号，整数之间以空格分隔。

输出格式

输出一行，一个整数，表示所有子树中满二叉树的数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
2 3
4 0
0 0
0 0

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

3
2 3
0 0
0 0

输出 #2

3

说明/提示

数据范围

对于 $40\%$ 的测试点，保证 $1\le n\le 500$。

对于所有测试点，保证 $1\le n\le 10^5$。

题解

本题要求统计一棵有根二叉树中，所有子树（即以每个结点为根的子树）中有多少棵是满二叉树。
满二叉树的定义是：所有叶子深度相同，且除叶子外每个结点都有两个儿子。

我采用后序遍历（DFS）自底向上计算每个结点的信息：

• d[x]：以结点 x 为根的子树的高度（深度）。若为满二叉树，则所有叶子深度相同，高度定义为从根到叶子的边数加 1（即叶子深度为 1）。
• b[x]：布尔值（用 0/1 表示），标记以 x 为根的子树是否是满二叉树。

递归过程：

1. 叶子结点（l[x]==0 && r[x]==0）：显然是一棵满二叉树，d[x]=1，b[x]=1，答案加 1。
2. 非叶子结点：先递归处理左右子树，然后判断：
   • 若左、右子树都存在且都是满二叉树（b[l[x]]==1 && b[r[x]]==1），并且左右子树高度相等（d[l[x]] == d[r[x]]），则当前子树也是满二叉树，高度为 d[l[x]]+1，标记 b[x]=1，答案加 1。
   • 否则当前子树不是满二叉树，b[x]=0，不增加答案。

注意：如果某个结点只有一个儿子，则不可能成为满二叉树，因为满二叉树要求除叶子外都有两个儿子，所以这种情况直接不满足条件（代码中逻辑隐含了 b[0] 为 0 且 d[0] 为 0，但左/右儿子为 0 时不满足 b[l[x]] && b[r[x]]，故不会错误计数）。

最终输出答案 ans。

时间复杂度：每个结点访问一次，$O(n)$，$n\le 10^5$ 完全可行。
空间复杂度：$O(n)$。

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带注释的源代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int l[100005];   // l[i]：结点 i 的左儿子编号，0 表示不存在
int r[100005];   // r[i]：结点 i 的右儿子编号，0 表示不存在
int d[100005];   // d[i]：以 i 为根的子树高度（若为满二叉树则有效）
int b[100005];   // b[i]：1 表示以 i 为根的子树是满二叉树，0 表示不是
int ans = 0;     // 统计满二叉树子树的个数

// 后序遍历结点 x
void dfs(int x) {
    // 情况1：x 是叶子结点
    if (l[x] == 0 && r[x] == 0) {
        d[x] = 1;       // 叶子高度为 1
        b[x] = 1;       // 叶子是满二叉树
        ans++;          // 计数
        return;
    }

    // 先递归处理左右子树（若存在）
    if (l[x] > 0) dfs(l[x]);
    if (r[x] > 0) dfs(r[x]);

    // 情况2：x 有左右儿子，且左右子树都是满二叉树，且高度相等
    // 注意：如果某个儿子不存在，则 b[0] 默认为 0，条件不成立
    if (b[l[x]] && b[r[x]] && d[l[x]] == d[r[x]]) {
        d[x] = d[l[x]] + 1;   // 当前子树高度 = 子树高度 + 1
        b[x] = 1;             // 当前子树是满二叉树
        ans++;                // 计数
    }
    // 否则当前子树不是满二叉树，b[x] 保持为 0（全局默认），不需要额外操作
    return;
}

int main() {
    cin >> n;
    // 读入每个结点的左右儿子
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> l[i] >> r[i];
    }

    // 从根结点 1 开始后序遍历
    dfs(1);

    // 输出满二叉树子树的个数
    cout << ans;
    return 0;
}