spectralfact

线性系统的谱分解

语法

[G,S] = spectralfact(H)

[G,S] = spectralfact(F,R)

G = spectralfact(F,[])

说明

[G,S] = spectralfact(H) 计算满足 H = H’ 的 LTI 模型的谱分解：

H = G’SG

在此分解中，S 是一个对称矩阵，G 是一个具有单位（恒等）前馈的平方、稳定且最小相位系统。G’ 是 G 的共轭，在连续时间中其传递函数为 G(–s)^T，在离散时间中为 G(1/z)^T。

[G,S] = spectralfact(F,R) 计算谱分解：

F’RF = G’SG

而无需显式构成 H = F’RF。与前一语法相同，S 是一个对称矩阵，G 是一个具有单位前馈的平方、稳定且最小相位系统。

G = spectralfact(F,[]) 计算一个稳定、最小相位系统 G，使得：

G’*G = F’*F。

示例

系统的谱分解

考虑以下系统。

G0 = ss(zpk([-1 -5 1+2i 1-2i],[-100 1+2i 1-2i -10],1e3));
H = G0’*G0;

G0 混合了稳定和不稳定的动态特性。H 是一个自共轭系统，其动态特性由 G0 的极点和零点及其关于虚轴的镜像组成。使用谱分解将稳定极点和零点分离到 G 中，将不稳定极点和零点分离到 G’ 中。

[G,S] = spectralfact(H);

通过检查其所有极点和零点是否都位于左半平面 (Re(s) < 0)，确认 G 是稳定且最小相位的。

p = pole(G)

p = 4×1 complex
10^2 ×

-0.0100 + 0.0200i
-0.0100 - 0.0200i
-0.1000 + 0.0000i
-1.0000 + 0.0000i

z = zero(G)

z = 4×1 complex

-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
-5.0000 + 0.0000i
-1.0000 + 0.0000i

G 还具有单位前馈。

G.D

ans = 1

由于 H 是 SISO 系统，S 是一个标量。如果 H 是 MIMO 系统，S 的维度将与 H 的 I/O 维度匹配。

S

S = 1000000

通过比较原始系统与原始系统和分解系统之间的差值，确认 G 和 S 满足 H = G’SG。由于差值非常小，sigmaplot 会发出警告。

Hf = G’SG;
sigmaplot(H,H-Hf)

警告：频率响应的相对精度较差。这可能是因为响应在所有频率下都接近零或无穷大，或者因为状态空间实现是病态的。使用 “prescale” 命令进行进一步调查。

基于分解形式的谱分解

假设您有以下 2 输出、2 输入状态空间模型 F。

A = [-1.1 0.37;
0.37 -0.95];
B = [0.72 0.71;
0 -0.20];
C = [0.12 1.40
1.49 1.41];
D = [0.67 0.7172;
-1.2 0];
F = ss(A,B,C,D);

进一步假设您有一个对称的 2×2 矩阵 R。

R = [0.65 0.61
0.61 -3.42];

计算由 H = F’RF 给出的系统的谱分解，而无需显式计算 H。

[G,S] = spectralfact(F,R);

G 是一个具有恒等前馈的最小相位系统。

G.D

ans = 2×2

 1     0
 0     1

由于 F 有两个输入和两个输出，R 和 S 都是 2×2 矩阵。

通过比较原始分解与两个分解之间的差值，确认 G’SG = F’RF。差值的奇异值远低于原始系统的奇异值。

Ff = F’RF;
Gf = G’SG;
sigmaplot(Ff,Ff-Gf)

隐式分解

考虑以下离散时间系统。

F = zpk(-1.76,[-1+i -1-i],-4,0.002);

F 在单位圆外有极点和零点。使用 spectralfact 计算一个具有稳定极点和零点的系统 G，使得 G’*G = F’*F。

G = spectralfact(F,[])

G =

-3.52 z (z+0.5682)

(z^2 + z + 0.5)

Sample time: 0.002 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

与 F 不同，G 在单位圆外没有极点或零点。G 在 z = 0 处确实有一个额外的零点，这是 F 中 z = Inf 处不稳定零点的镜像。

pzplot(G)

通过比较原始分解与两个分解之间的差值，确认 G’*G = F’*F。差值的奇异值远低于原始分解的奇异值。

Ff = F’*F;
Gf = G’*G;
sigmaplot(Ff,Ff-Gf)

输入参数

H — 自共轭 LTI 模型

tf | zpk | ss

自共轭 LTI 模型，指定为 tf、ss 或 zpk 模型。自共轭意味着等于其共轭，即 H = H’。共轭 H’ 在连续时间中是传递函数 H(–s)^T，在离散时间中是 H(1/z)^T。

H 可以是 SISO 或 MIMO，前提是其输出数量与输入数量相同。H 可以是连续或离散的，但有以下限制：

• 在连续时间中，H 必须是双真且没有极点或零点在无穷远处或在虚轴上。
• 在离散时间中，H 在单位圆上不能有极点或零点。

F — F 因子

tf | zpk | ss

分解形式 H = F’RF 中的 F 因子，指定为 tf、ss 或 zpk 模型。F 的输入不能多于输出。

R — R 因子

方阵

分解形式 H = F’RF 中的 R 因子，指定为一个对称方阵，其行数与 F 的输出数相同。

输出参数

G — LTI 因子

tf | zpk | ss

LTI 因子，以 tf、ss 或 zpk 模型形式返回。G 是一个稳定、最小相位的系统，满足：

• H = G’SG，如果您使用语法 [G,S] = spectralfact(H)。
• G’SG = F’RF，如果您使用语法 [G,S] = spectralfact(F,R)。
• G’*G = F’*F，如果您使用语法 G = spectralfact(F,[])。

S — 数值因子

矩阵

数值因子，以对称矩阵形式返回，满足：

• H = G’SG，如果您使用语法 [G,S] = spectralfact(H)。S 的维度与 H 和 G 的 I/O 维度匹配。
• G’SG = F’RF，如果您使用语法 [G,S] = spectralfact(F,R)。S 在每个维度上的大小与 F 的输出数量匹配。

提示

• spectralfact 假定 H 是自共轭的。在某些 H 不是自共轭的情况下，spectralfact 返回的 G 和 S 不满足 H = G’SG。因此，在使用 spectralfact 之前，请验证您的输入模型实际上是自共轭的。验证 H 的一种方法是在奇异值图上比较 H 和 H - H’。

sigmaplot(H,H-H’)

如果 H 是自共轭的，则图上的 H - H’ 线将远低于 H 线。

版本历史记录

R2016a 中推出

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• 算术运算

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