动态规划英文名Dynamic Programming，这个名称总让人有一种时曾相识的感觉，可能是因为容易和“线性规划”之类的概念搞混。

        首先，适用动态规划的问题十分广泛和常见——地图路径搜索（深度优先、广度优先、A*），填充容器使价值最大化（例如背包体积固定V，有不同的物体具有各自的体积和价值），文本比较算法（常用的diff工具），以及最短路径之类的求最优解的问题，幕后都有一只叫做DP的黑手操纵着。

        一个算法非常常用，说明两点：这个算法效果较好，时、空复杂度相对较好；.现实中大量问题符合这个算法的适用范围。前者并无什么特别之处，而后者正是动态规划可以称为“算法之王”的原因。

        不严谨的看，世界上的算法问题有三种：特别简单的，中等的，特别复杂的。

        特别复杂的问题，很不严谨的说就是只有穷举才能解决的问题。算法理论中被称为NP问题就是这种，没有“N的多项式时间内”的解法。这种问题往往不好被人们利用。

        特别简单的问题，解决策略往往比较明显。要么是可以简单的用贪婪法直接做，要么就是有特定的数学方法可以很快得到结果。其中能用贪婪法的问题是这样的问题：局部最优解的简单叠加即为全局最优解。举两个例子：

        1、一个小偷潜入到一个仓库里，他只能从仓库里拿三样东西，问怎样才能使小偷的利益最大化？（抢答：挑三个价值最大的货物。）

        2、你去超市购物花了N元（N为正整数），你的钱包里有1、5、10、50、100五种钞票足够多，问怎样付款能让付款的钞票张数最少？（抢答：根据价格，从100元到1元从大到小付清为止。比如128元，付100+10+10+5+1+1+1即可。）

        你一定会觉得上面两个例子既白痴又不实际，那么，我们把他们改的实际一点。

        1、一个小偷潜入到一个仓库里，他只带了一个包，包的容量为10公斤，仓库里有单件1公斤、2公斤、3公斤的货物价值分别为60元、200元、310元。问怎样带使小偷的利益最大化？

        这个问题变得非常实际了，如果小偷一着急，从3公斤的开始装，不足的空间用1公斤的补，是310+310+310+60 = 970元，还不错知足了。但是，其实装5个2公斤的，就是1000元！白赚30元。

        如果把它抽象成：包裹容量为V，货物重量weight = [w1, w2, ..., wn]，货物价值value = [v1, v2, ..., vn]，请你编程求解，是不是就有点困难了？自古鱼和熊掌不可兼得的问题大都符合这种模型。

        2、为纪念M国成立60周年，政府发行了大量6元和60元纪念钞票，并可以在市面上用于流通。具有“最少张钞票”强迫症的你头疼了，因为就算你备足了各种整钱和零钱，原来的付款策略也不再奏效。例如，如果付款12元，从大到小，付一张10元和两张1元就是3张；而其实你付2张6元就可以了。

        你可能会说这个问题是瞎编的。实际上，正是为了避免这种情况，所以我们的钞票才被设计成了现在这几种面值。而现实中如果不是特别设计过，那么不能用贪婪法的问题其实占大多数。

        

        现实中的问题，要解决的问题往往只有两、三个限制条件，而往往只要两、三个限制条件，就让它变得既不简单，又不是特别复杂。可喜的是，这样正好进入了动态规划的射程。

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        跟我看几个实例：

        一片原始森林要开发为野生旅游区，一批考察人员去实地考察，规划旅游路线。森林里路线非常繁多，根据计划，从A点出发，中间必须到达中途休息区（BCD三者之一都可以，未来会选择其中一处建设成休息站）供游客休息购物，然后再出发到达E点结束。

♦	B	♦
起点A	C	终点E
♦	D	♦

        原始森林里，考察人员必须自己行走，然后记录自己到达每个点用的时间，用以最终确定路线。

        这个问题很简单，最终目标是A-E，它们的距离记作Lae，划分成几个子问题：

        Lab, Lac, Lad, Lbe, Lce, Lde

        Lae  = Min( Lab+Lbe, Lac+Lce, Lad+Lde )

        全局一看，无非是三条路线，选一条最短的即可。

        就说A-B这一段，也有很多走法，对考察人员来说，他们得把这些小分支都走一遍，才能找到最短的一条作为Lab。

        推广开去：

A	1	4	7	9	12	B=12+3																							E
1						26
5						25
8	16	20	21	22	23	24

       不管路线多么复杂，总要把所有的路走一遍才能知道最短路线。因为每一个点都有可能是最终路线的一环，要所有点全部算出来才知道。
       搜索策略有很多，可以任意选择。只需要记住一个关键：当一路走来达到某一个点B时，B这一点只需要记录从起点过来最少需要x步，如果从别的途径搜索过来用了x+1步，那么这条更慢的搜索路径也没用，直接终止。如图蓝色的路线到B时，B已经记录了15，蓝色路线就不需要往上走了，可以往其他没走过的格子继续走。

        可以看出，越到后来，很多搜索途径会刚开始走就停止并不很浪费，搜索策略得当的话，这个问题的时间复杂度大致就和搜索空间一致，是O（格子数N）。实际上宽度优先搜索放在这里就是最好的方法了（反正我看起来是的）。

        再看小偷装东西的问题。

        如果背包大小是10，我们完全可以看成0、1、2、3、……、9、10  一共11个状态，每往包里放一个货物，状态就改变一次。最终达到状态10。不同的放置策略像不像一条路径？

        1、2、3公斤的三种货物价值分别是60、200、310。 每个状态的价值记作m，初始状态的价值 m0 = 0。

        状态1只能通过状态0跳过来。m1 = 60

        状态2可以通过状态1 或者 状态0 转移过来。  m2 = max( 60+60, 200 ) = 200

        状态3有三种跳转方法，从状态2来，从状态1来，从状态0来。

        状态4有三种跳转方法，从状态3来，从状态2来，从状态1来。

        状态5有三种跳转方法，从状态4来，从状态3来，从状态2来。

        依次类推……就可以得到状态10的值了，无非是从状态7、8、9跳转而来，只需要取max即可。

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        我曾经遇到的最有情趣的一道题：一个N*N的棋盘，蚂蚁在左上角第一个格子( 0, 0 )里的位置，棋盘的每个格子里会放0~1粒蔗糖粉末。蚂蚁只能往右走或者往下走，问蚂蚁怎么走，才能使吃到的糖粉最多？

        提示：设( 0,0 )格能吃到的最大数量为m(0,0)，蚂蚁每次都要从向下和向右中做出选择：

                m(x,y) = 目前这一格上的糖粉 + max( m(x+1,y), m(x,y+1) )

        这是个递推式子，可以递归来解。当然想明白以后从右下角开始往上算就可以避免递归了。

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        大胆的抽象描述一下动态规划问题特性：

        动态规划求解的问题，不易一眼看到明确的特征。

        问题必须能够划分为若干子问题，或者叫做阶段。必须给定已知的初始阶段。

        每一个阶段都必然从之前的某一个阶段跳转而来，每一个阶段都要知道自己的最优值的判定方法，以便只保留最优的那个值。

        初始阶段经过一系列的跳转，每一步跳转都是最优解，那么达到最终阶段的时候也是最优解。（核心条件，只有满足这一条件的问题才能用动态规划法。）

反复的讨论一下：一个状态可能是最终最优跳转路径的一部分，所以大多数状态都需要被求解，虽然有可能不是。（后面会说怎么尽可能的减少求解的次数。）

有一类简单问题：只要每一步是最优解，那么结果肯定是最优解；不需要动态规划。有一类复杂问题：就算每一个子问题找到了最优解，跳转之后也不一定能得到最优解；这种问题不适用动态规划，而且不穷举的话很难求解。

符合动态规划的问题和上面二者不同：全局最优解一定是通过一系列局部最优解得来的，但是从某个局部最优解出发不一定能达到全局最优解。（举例，上面小偷装东西的问题，最终是通过2+2+2+2+2得来的，从1或者3状态出发永远也达不到最优解。）

最后，思考上最难的一点是：状态空间不仅可以是1维的，还可以是2维、3维、4维……寻找最短路径是典型的2维问题，装包是典型的1维问题。只需要修改一下小偷装东西问题，就可以变成2维的。

问题：小偷的背包容量为V，仓库里有n种货物，其价值分别为(v1,v2,...,vn)，重量分别为(w1,w2,...,wn)，剩余数量分别为(u1,u2,...,un)，求小偷获得最大利益的方法

如果仍然使用1维的状态空间，很容易造成求得的解超过了货物的剩余数量，得到错误的解。必须使用二维空间，两个维度分别是 当前容量、当前货物总种类。最终跳转到容量为V、种类为n的节点。

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更深入的探讨，慢慢补充：

        每多一个限制条件，状态空间增加一维。有时候状态空间的意义模糊不易理解，是主要的难点所在。

        

        动态规划问题往往有两种解法：正向和反向，正向求解往往需要递归，有时候用反向可以避免递归。比如小偷装东西问题，上面说的是反向解法，没有递归。

        你还可以找到一个递推式

          m10 = max(m9+60,m8+200,m7+310)

        其中m9、m8、m7都是未知的，直接递归来做就可以了。

        而且，你发现了吗，随着递归深入，递归方式可以跳过一部分完全不需要计算的节点。举个例子，如果输入参数里，货物重量都是偶数，那么在递归的时候，奇数状态就不会被算到啦  :)  

        （我在做diff算法时感觉到能跳过的节点不多，但是反向计算肯定是全都要算出来的。）

        如果采用递归方式，务必记得用数组或者n维数组保存中间结果，不保存中间结果会反复的计算已经计算过的节点，在实际应用中觉得非常可怕。

        比较恶搞的是，最终状态不一定能达到，比如小偷装东西的问题吧，如果货物重量是4、6、8、10等等，而你的背包容量是21，那么不可能达到21，只能达到20，而且进一步的，某种组合方式可能最大值不是出现在后面的状态，所以，你得max(状态1, 状态2 ..., 状态n)才能得到真正的极值。网上无数代码存在此漏洞，包括《编程之美——微软技术面试心得》这本书。

        这又牵扯到神奇的数学，不同的数字竟然会对算法造成影响，恐怕这也是数学家的乐趣所在了 = =