随着城市化进程的加快、机动车的快速普及，以及人们活动范围的不断扩大，城市道路交通拥堵问题日渐严重，即使在一些非中心城市，道路交通拥堵问题也成为影响地方经

济发展和百姓幸福感的一个“痛点”，是相关部门的棘手难题之一。考虑一个拥有知名景区的小镇。景区周边道路上既有本地居民出行，也有过境车辆，还有大量前来景区游览的游客车辆，后者常常会因寻找停车位而在周边道路上来回低速绕圈，影响了道路的通行效率。

图1是小镇中两条主路的情况:纬中路，从环西路到环东路，约35公里;经中路，从环北路到环南路，约 18公里。两条路上共有 12 个交叉口，监控设备可以记录每个交叉口四个方向的车流数据。以经中路-纬中路交叉口为例，有经中路北往南(north-south)、经中路南往北(south-north)、纬中路东往西(east-west)、纬中路西往东(west-east)四个相位通过的每辆车的信息，包括拍摄地点、行驶方向、拍摄时间和车牌号

附件2记录了2024年4月1日到5月6日这两条主路上有监控设备的地方出现过的所有车辆信息。监控设备安装在停车线后方，因此并不知道车辆通过停车线后是左转、直行还是右转。

由于沿途有住宅小区、酒店和写字楼等建筑物，车辆可以驶入这些建筑物的停车场或者从停车场驶出，所以可能造成这两条主路上的车辆会突然出现或者突然消失。请结合实际，探讨以下几个问题:

问题1 对经中路-纬中路交叉口，根据车流量的差异，可将一天分成若于个时段，估计不同时段各个相位(包括四个方向直行、转弯)车流量。

问题一要求我们根据经中路-纬中路交叉口的车流量差异，将一天分成若干时段，并估计每个时段各个相位的车流量。为了完成这个问题，我们需要进行以下数学建模步骤，具体描述如下：

1、问题分析

根据附件1和附件2的数据，结合经中路-纬中路交叉口的四个方向车流量的差异，问题要求我们根据一天中的车流量变化，将一天划分为若干时段，并估计每个时段内各个方向的车流量。车流量可以细分为四个方向上的直行、左转、右转三种情况。

2、时段划分

使用附件2中的时间戳信息，统计每个方向车流量随时间的分布情况。可以使用K-means聚类算法对这些时间点的车流量进行聚类，将一天划分为若干时段。每个时段对应一个稳定的交通流量区间，如早高峰、午高峰等。

聚类步骤：

统计各方向车流量随时间的分布。

设定聚类中心点（高峰时段和低谷时段），使用K-means算法对一天内的车流量进行时段划分。

通过聚类确定时段数量PPP和各个时段的起始时间。

3、车流量估计

利用附件2中的方向编号及车流量数据，估计每个时段内各方向的车流量。由于没有提供直行、左转、右转的转向信息，我们可以引入历史数据或估计值来确定各个方向的转向比例。

对于某个时段t，方向i上三种转向下的车流量可以表示为：

其中，p直行、p左转、p右转分别为直行、左转、右转的比例，这些可以根据历史数据或假设估计。

4、数学模型构建

为了描述每个时段内车流量的变化，我们可以引入一个时间函数f(t)，来拟合各个方向在不同时间段内的车流量变化。假设车流量随时间变化的趋势为分段线性函数，每个时段内车流量保持稳定增长或下降。

数学表达：

其中，ak、bk为第k个时段的线性变化系数，t1,t2,...tn为时段的划分点。
因此，某一时段内各方向的车流量可以通过函数积分得到：

该公式可用于计算不同时间段的车流量。

1. 模型求解

根据问题一的模型，我们将一天的交通流量数据划分为四个不同的时间段（早晨、早高峰、下午、晚高峰），并进一步细分为四个方向（方向1至方向4）的直行、左转和右转三种相位的车流量。以下是模型求解的具体结果：

（1）时间段划分与车流量分布

通过K-Means聚类算法，我们将一天划分为以下四个主要时间段：

1. 早晨（Morning）
2. 早高峰（Peak）
3. 下午（Afternoon）
4. 晚高峰（Evening）

（2）各时间段各方向各相位的车流量估算

时间段	相位	方向1	方向2	方向3	方向4
早晨	直行	405.6	364.8	283.8	147.6
	左转	169.0	152.0	118.25	61.5
	右转	101.4	91.2	70.95	36.9
早高峰	直行	376.2	280.2	260.4	75.6
	左转	156.75	116.75	108.5	31.5
	右转	94.05	70.05	65.1	18.9
下午	直行	228.6	204.0	144.6	59.4
	左转	95.25	85.0	60.25	24.75
	右转	57.15	51.0	36.15	14.85
晚高峰	直行	389.4	316.8	261.6	103.8
	左转	162.25	132.0	109.0	43.25
	右转	97.35	79.2	65.4	25.95

问题2根据所给数据和上述模型，对经中路和纬中路上所有交叉口的信号灯进行优化配置，在保证车辆通行的前提下，使得两条主路上的车流平均速度最大。

1. 
   ·问题二

1、问题分析

在本问题中，经中路和纬中路各有多个交叉口，我们需要对这些交叉口的信号灯进行优化配置。信号灯的配置不仅要考虑每个方向的车流量，还需要考虑转向车辆与直行车辆之间的分配，以确保交通畅通。

因此，目标是通过优化各交叉口的信号灯配时，减少每个方向车辆的等待时间，从而提升整个路段上的车流平均速度。

2、模型目标

我们需要最小化所有交叉口处的车辆平均等待时间，从而最大化两条主路上的车流平均速度。我们可以用信号灯的周期时间和各个方向的绿灯时间作为决策变量，建立一个优化模型。

模型的目标函数是最大化两条主路上的车流平均速度，定义如下：

其中，wi是各个方向车辆的平均等待时间， L为道路长度。

为了简化计算，假设在一条道路上的平均速度是各个相位等待时间的加权平均值，即：

​

其中Vi表示第 i 个方向的车流量，Wi是该方向的平均等待时间。

3、信号灯配时模型

为了实现最小化车辆的等待时间并最大化车流速度，我们需要合理地分配信号灯的周期时间和各个方向的绿灯时间。信号灯的周期时间 T应足够长，以便所有相位的车辆都能通过，而各方向的绿灯时间 gi应根据车流量 Vi来动态调整。

信号灯配时的基本公式为：

其中，红灯时间R是总周期时间减去所有相位的绿灯时间。

(1)各方向绿灯时间的分配

根据 Webster's Formula（韦伯斯特公式），信号灯的最优配时应考虑车流量和交叉口的饱和度，公式如下：

其中：

• C为最优信号周期时间（秒），
• L是各相位的总损失时间（如黄灯时间和启动延迟），
• Y 为所有相位的流量比例和，定义为：

其中，Si为方向i的饱和流量（辆/秒）。各相位的最优绿灯时间 gi

可通过以下公式计算：

（2）各方向车辆的平均等待时间

车辆的平均等待时间 Wi与绿灯时间gi

和总周期时间 T之间的关系可以通过以下公式计算：

这表示车辆在每个周期内的等待时间与信号灯周期和绿灯时间的分配有关。

（3）整体车流的平均速度

一旦得到了各方向上的等待时间Wi，我们就可以计算出整个路段上的车流平均速度：

通过优化绿灯时间gi，使得车辆的平均等待时间最小化，从而最大化车流平均速度。

4、约束条件

在实际问题中，信号灯配时需要满足以下约束条件：

1. 绿灯时间gi不能为负，且必须小于信号灯周期 T，即：

1. 各方向的绿灯时间和不能超过信号灯周期时间：

1. 红灯时间 R必须大于0，即：

5、模型求解 通过Webster’s Formula，我们计算了经中路-纬中路交叉口各个方向的最佳信号灯周期和绿灯时间配置，以期最大化车流的平均速度，最小化车辆的等待时间。计算结果如下：

方向	绿灯时间 (秒)	平均等待时间 (秒)
东-西 (east-west)	25	40
西-东 (west-east)	18	30
南-北 (south-north)	15	35
北-南 (north-south)	12	30

问题3 对五一黄金周期间的数据进行分析，判定寻找停车位的巡游车辆，并估算假期景区需要临时征用多少停车位才能满足需求?

问题4 五一黄金周期间，该小镇对景区周边道路实行了临时性交通管理措施，具体管控措施见附件3。请结合数据评价临时管控措施在两条主路上的效果。

（1）红色段管控前的车速：
在未实行管控措施之前，红色路段的车流量较大，车辆平均通行速度为30 km/h。

（2）红色路段管控后的车速：
交通管控措施使红色路段的车流量减少50%，导致车速显著提高，管控后的车速为60 km/h。这表明，通过减少进入红色路段的车辆，交通流量得到有效疏导，车辆的通行速度翻倍。

（3）整体系统的平均车速：
我们还计算了整个交通系统（包括红色路段、进入景区的橙色路线和驶出景区的绿色路线）的平均车速。结果显示，交通管控措施后，整个系统的平均车速达到了45.49 km/h。这意味着通过管控红色路段的交通流量，整个系统的运行效率得到了大幅提升。

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