【数据结构与算法】图——邻接表与邻接矩阵
邻接表与邻接矩阵
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一、图的基本概念
- 图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V,E），其中，G表示一个图，V是顶点的集合，E是边的集合。
- 在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。
- 图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。
有上面的定义可以得出树是一个特殊的图，与图的区别是没有环连通。
树关注的是节点（顶点）的值，而图关注的是顶点及边的权值。
- 图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
比方说现在想表示社交关系，那么QQ，微信等就是无向图，抖音微博这种就是有向图（你关注的人不一定关注了你）。
- 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
- 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
- 图上的边或弧上带权则称为网。
- 一个图包含了另一个图的部分顶点和部分边，就叫做子图。
- 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环（回路），当中不重复叫简单路径。若无向图任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。
- 生成树： 在无向图中，一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有 n 个顶点的连通图的生成树有 n 个顶点和 n-1 条边。
二、图的存储结构
一个图的信息包括两部分，即图中顶点的信息以及描述顶点之间的关系 ---- 边或者弧的信息。因此无论采用什么方法建立图的存储结构，都要完整、准确地反映这两个面的信息。下面介绍两种常用的图的存储结构。这篇介绍两个常见的结构：邻接矩阵和邻接表。
2.1 邻接矩阵
因为节点与节点之间的关系就是联通与否，即为 0 或者 1，因此邻接矩阵（二维数组）即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
可以看出无向图是对称的，而有向图没有对称关系。
如果边是带权值的且两个顶点不相连，我们可以用INT_MAX或者INT_MIN来表示。
邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道图中两个顶点是否连通，缺点是顶点很多且边比较少时，比较浪费空间，并且两个节点之间的路径不好求。若要确定图中有多少条边，需要遍历一遍邻接矩阵，空间复杂度为 O(N^2) 。这是用邻接矩阵来存储图的局限性。
所以邻接矩阵适合存稠密图，适合查找两个顶点是否相连
2.2 邻接表
邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
用数组保存顶点，用链表保存连通的顶点。
邻接表适合存稀疏图，适合查找一个顶点连出去的边
2.3 邻接矩阵的实现
邻接矩阵有以下的模板参数：
template <class V, class W, W MAX = INT_MAX, bool DIR = false>
V - 顶点，W - 权值，MAX - 最大值(默认参数给整形的最大值)，DIR - 表示图是否有方向。
template <class V, class W, W MAX = INT_MAX, bool DIR = false>
class Graph
{
public:
private:
vector<V> _vertexs;// 顶点集合
unordered_map<V, int> _idxMap;// 顶点映射下标
vector<vector<W>> _matrix;// 邻接矩阵
};
构造函数
我们传进一个数组和一个size_t型数据，数组里面存放顶点，数据表示数组的大小。
在内部我们首先要把每个顶点存储起来，并初始化邻接矩阵，把权值全部初始化成MAX代表不相连。
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);// 将传入数组的值存储到vector中
_idxMap[a[i]] = i;// 让数组中的每一个数据映射一个下标
}
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_matrix[i].resize(n, MAX);
}
}
添加边
首先要获取两个顶点的下标，然后还要判断是有向图还是无向图，无向图要添加两次。
// 获取顶点下标
size_t GetIdx(const V& v)
{
auto it = _idxMap.find(v);
if (it == _idxMap.end())
{
assert(false);
return -1;
}
return it->second;
}
void addEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t si = GetIdx(src);
size_t di = GetIdx(dst);
_matrix[si][di] = w;
if (DIR == false)
{
_matrix[di][si] = w;
}
}
打印观察
void Print()
{
// 打印矩阵横坐标
cout << " ";
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
printf("%5d", i);
}
cout << endl;
// 打印矩阵
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
{
cout << i << " "; // 打印矩阵纵坐标
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
{
if (_matrix[i][j] == MAX)
printf("%5c", '*');
else
printf("%5d", _matrix[i][j]);
}
cout << endl;
}
}
整体代码
template <class V, class W, W MAX = INT_MAX, bool DIR = false>
class Graph
{
public:
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);// 将传入数组的值存储到vector中
_idxMap[a[i]] = i;// 让数组中的每一个数据映射一个下标
}
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_matrix[i].resize(n, MAX);
}
}
// 获取顶点下标
size_t GetIdx(const V& v)
{
auto it = _idxMap.find(v);
if (it == _idxMap.end())
{
assert(false);
return -1;
}
return it->second;
}
void addEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t si = GetIdx(src);
size_t di = GetIdx(dst);
_matrix[si][di] = w;
if (DIR == false)
{
_matrix[di][si] = w;
}
}
void Print()
{
// 打印顶点和下标间的映射关系
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
// 打印矩阵横坐标
cout << " ";
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
printf("%5d", i);
}
cout << endl;
// 打印矩阵
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
{
cout << i << " "; // 打印矩阵纵坐标
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
{
if (_matrix[i][j] == MAX)
printf("%5c", '*');
else
printf("%5d", _matrix[i][j]);
}
cout << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs;// 顶点集合
unordered_map<V, int> _idxMap;// 顶点映射下标
vector<vector<W>> _matrix;// 邻接矩阵
};
void TestGraph()
{
Graph<char, int, INT_MAX, false> g("ABCDE", 5);
g.addEdge('A', 'B', 1);
g.addEdge('B', 'D', 4);
g.addEdge('A', 'D', 2);
g.addEdge('B', 'C', 9);
g.addEdge('A', 'C', 8);
g.addEdge('E', 'A', 5);
g.addEdge('A', 'E', 3);
g.addEdge('C', 'D', 6);
g.Print();
}
2.4 邻接表的实现
邻接表里面存的是边，所以我们要设计一个边的类。
template <class W>
struct Edge
{
Edge(int dsti, const W& w)
: _dsti(dsti)
, _w(w)
, _next(nullptr)
{}
int _dsti;
W _w;// 权值
Edge<W>* _next;
};
当要加入一个边的时候，直接头插即可。
其他的和邻接矩阵同理。
template <class W>
struct Edge
{
Edge(int dsti, const W& w)
: _dsti(dsti)
, _w(w)
, _next(nullptr)
{}
int _dsti;
W _w;// 权值
Edge<W>* _next;
};
template <class V, class W, bool DIR = false>
class Graph
{
public:
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);// 将传入数组的值存储到vector中
_idxMap[a[i]] = i;// 让数组中的每一个数据映射一个下标
}
_tables.resize(n, nullptr);
}
// 获取顶点下标
size_t GetIdx(const V& v)
{
auto it = _idxMap.find(v);
if (it == _idxMap.end())
{
assert(false);
return -1;
}
return it->second;
}
void addEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t si = GetIdx(src);
size_t di = GetIdx(dst);
Edge<W>* eg = new Edge<W>(di, w);
eg->_next = _tables[si];
_tables[si] = eg;
if (DIR == false)
{
Edge<W>* eg = new Edge<W>(si, w);
eg->_next = _tables[di];
_tables[di] = eg;
}
}
void Print()
{
// 打印顶点和下标间的映射关系
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
{
// 遍历当前链表，并打印链表结点中的相关信息
cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
Edge<W>* cur = _tables[i];
while (cur)
{
cout << "[" << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":" << cur->_w << "]->";
cur = cur->_next;
}
cout << "nullptr" << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs;// 顶点集合
unordered_map<V, int> _idxMap;// 顶点映射下标
vector<Edge<W>*> _tables;// 邻接表
};
void TestGraph()
{
Graph<char, int, true> g("ABCDE", 5);
g.addEdge('A', 'B', 1);
g.addEdge('B', 'D', 4);
g.addEdge('A', 'D', 2);
g.addEdge('B', 'C', 9);
g.addEdge('A', 'C', 8);
g.addEdge('E', 'A', 5);
g.addEdge('A', 'E', 3);
g.addEdge('C', 'D', 6);
g.Print();
}
三、总结
根据邻接表和邻接矩阵的结构特性可知，当图为稀疏图、顶点较多，即图结构比较大时，更适宜选择邻接表作为存储结构。当图为稠密图、顶点较少时，或者不需要记录图中边的权值时，使用邻接矩阵作为存储结构较为合适。
邻接表和邻接矩阵相辅相成，各有优缺点，是互补的。
旨在为数千万中国开发者提供一个无缝且高效的云端环境，以支持学习、使用和贡献开源项目。
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