Minimax 算法

定义

Minimax$ 算法又叫极小化极大算法，是一种找出失败的最大可能性中的最小值的算法。1

在局面确定的双人对弈里，常进行对抗搜索，构建一棵每个节点都为一个确定状态的搜索树。奇数层为己方先手，偶数层为对方先手。搜索树上每个叶子节点都会被赋予一个估值，估值越大代表我方赢面越大。我方追求更大的赢面，而对方会设法降低我方的赢面，体现在搜索树上就是，奇数层节点（我方节点）总是会选择赢面最大的子节点状态，而偶数层（对方节点）总是会选择我方赢面最小的的子节点状态。

过程

Minimax 算法的整个过程，会从上到下遍历搜索树，回溯时利用子树信息更新答案，最后得到根节点的值，意义就是我方在双方都采取最优策略下能获得的最大分数。

解释

来看一个简单的例子。

称我方为 MAX，对方为 MIN，图示如下：

例如，对于如下的局势，假设从左往右搜索，根节点的数值为我方赢面：

我方应选择中间的路线。因为，如果选择左边的路线，最差的赢面是 3；如果选择中间的路线，最差的赢面是 15；如果选择右边的路线，最差的赢面是 1。虽然选择右边的路线可能有 22 的赢面，但对方也可能使我方只有 1 的赢面，假设对方会选择使得我方赢面最小的方向走，那么经过权衡，显然选择中间的路线更为稳妥。

实际上，在看右边的路线时，当发现赢面可能为 1 就不必再去看赢面为 12、20、22 的分支了，因为已经可以确定右边的路线不是最好的。

朴素的 Minimax 算法常常需要构建一棵庞大的搜索树，时间和空间复杂度都将不能承受。而α − β 

剪枝就是利用搜索树每个节点取值的上下界来对 Minimax 进行剪枝优化的一种方法。

需要注意的是，对于不同的问题，搜索树每个节点上的值有着不同的含义，它可以是估值、分数、赢的概率等等，为方便起见，我们下面统一用分数来称呼。

alpha-beta 剪枝

过程

对于如下的局势，假设从左往右搜索：

若已知某节点的所有子节点的分数，则可以算出该节点的分数：对于 MAX 节点，取最大分数；对于 MIN 节点，取最小分数。

若已知某节点的部分子节点的分数，虽然不能算出该节点的分数，但可以算出该节点的分数的取值范围。同时，利用该节点的分数的取值范围，在搜素其子节点时，如果已经确定没有更好的走法，就不必再搜索剩余的子节点了。

记 v 为节点的分数，且 α ≤ v ≤ β，即 α 为最大下界，β 为最小上界。当 α ≥ β 时，该节点剩余的分支就不必继续搜索了（也就是可以进行剪枝了）。注意，当 α = β 时，也可以剪枝，这是因为不会有更好的结果了，但可能有更差的结果。

初始化时，令 α = −∞, β = +∞，也就是 −∞ ≤ v ≤ +∞。到节点 A 时，由于左 子节点的分数为 3，而节点 A 是 MIN 节点，试图找分数小的走法，于是将 β 值修 改为 3，这是因为 3 小于当前的 β 值（β = +∞）。然后节点 A 的右子节点的分数 为 17，此时不修改节点 A 的 β 值，这是因为 17 大于当前的 β 值（β = 3）。之 后，节点 A 的所有子节点搜索完毕，即可计算出节点 A 的分数为 3。

节点 A 是节点 B 的子节点，计算出节点 A 的分数后，可以更新节点 B 的分数范 围。由于节点 B 是 MAX 节点，试图找分数大的走法，于是将 α 值修改为 3，这是 因为 3 大于当前的 α 值（α = −∞）。之后搜索节点 B 的右子节点 C，并将节点 B 的 α 和 β 值传递给节点 C。

对于节点 C，由于左子节点的分数为 2，而节点 C 是 MIN 节点，于是将 β 值修改 为 2。此时 α ≥ β，故节点 C 的剩余子节点就不必搜索了，因为可以确定，通过节 点 C 并没有更好的走法。然后，节点 C 是 MIN 节点，将节点 C 的分数设为 β，也 就是 2。由于节点 B 的所有子节点搜索完毕，即可计算出节点 B 的分数为 3。

计算出节点 B 的分数后，节点 B 是节点 D 的一个子节点，故可以更新节点 D 的分 数范围。由于节点 D 是 MIN 节点，于是将 β 值修改为 3。然后节点 D 将 α 和 β 值 传递给节点 E，节点 E 又传递给节点 F。对于节点 F，它只有一个分数为 15 的子 节点，由于 15 大于当前的 β 值，而节点 F 为 MIN 节点，所以不更新其 β 值，然 后可以计算出节点 F 的分数为 15。 

 计算出节点 F 的分数后，节点 F 是节点 E 的一个子节点，故可以更新节点 E 的分 数范围。节点 E 是 MAX 节点，更新 α，此时 α ≥ β，故可以剪去节点 E 的余下分 支。然后，节点 E 是 MAX 节点，将节点 E 的分数设为 α，也就是 3。此时，节点 D 的所有子节点搜索完毕，即可计算出节点 D 的分数为 3。

计算出节点 D 的分数后，节点 D 是节点 H 的一个子节点，故可以更新节点 H 的分 数范围。节点 H 是 MAX 节点，更新 α。然后，按搜索顺序，将节点 H 的 α 和 β 值依次传递给节点 I、J、K。对于节点 K，其左子节点的分数为 2，而节点 K 是 MIN 节点，更新 β，此时 α ≥ β，故可以剪去节点 K 的余下分支。然后，将节点 K 的分数设为 2。

计算出节点 K 的分数后，节点 K 是节点 J 的一个子节点，故可以更新节点 J 的分 数范围。节点 J 是 MAX 节点，更新 α，但是，由于节点 K 的分数小于 α，所以节 点 J 的 α 值维持 3 保持不变。然后，将节点 J 的 α 和 β 值传递给节点 L。由于节 点 L 是 MIN 节点，更新 β = 3，此时 α ≥ β，故可以剪去节点 L 的余下分支，由于 节点 L 没有余下分支，所以此处并没有实际剪枝。然后，将节点 L 的分数设为 3。

 实现

int alpha_beta(int u, int alph, int beta, bool is_max) {
  if (!son_num[u]) return val[u];
  if (is_max) {
    for (int i = 0; i < son_num[u]; ++i) {
      int d = son[u][i];
      alph = max(alph, alpha_beta(d, alph, beta, is_max ^ 1));
      if (alph >= beta) break;
    }
    return alph;
  } else {
    for (int i = 0; i < son_num[u]; ++i) {
      int d = son[u][i];
      beta = min(beta, alpha_beta(d, alph, beta, is_max ^ 1));
      if (alph >= beta) break;
    }
    return beta;
  }
}

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