机器人学DH参数及利用matlab符号运算推导

图中的坐标系定义：利用连杆坐标系定义相应的连杆参数：坐标系{i}\{i\}{i}相对坐标系{i−1}\{i-1\}{i−1}的变换矩阵i−1Ti{}^{i-1}T_{i}i−1Ti可以看作四个子变换矩阵的乘积：这些变换都是相对运动坐标系描述的，满足从左到右的原则，可以得到最终变换公式如下：ii−1T=Rotx(αi)Transx(ai)Rotz(θi)Transz(di)_{i}^{i-1}T=

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1984人浏览 · 2022-06-26 11:42:52

subtitle_ · 2022-06-26 11:42:52 发布

引言

重新复习了一下机器人学DH参数，并且利用matlab符号运算进行了推导，验证了公式。

引言
- 1.DH参数原理
- 2.Matlab符号运算验证

1.DH参数原理

在这里插入图片描述
图中的坐标系定义：

坐标系 ${i}$ 的 $z$ 轴 $z_i$ 和关节轴线 $i$ 共线，指向任意规定。
坐标系 ${i}$ 的 $x$ 轴 $x_i$ 和 $a_i$ 重合，由关节 $i$ 指向关节 $i + 1$ ，当 $a_i=0$ ，取 $x_i=±z_{i+1}\times z_i$ 。
坐标系 ${i}$ 的 $y$ 轴 $y_i$ 按右手法则规定。
坐标系 ${i}$ 的原点 $o_i$ 取在 $x_i$ 和 $z_i$ 的交点上；当 $z_i$ 和 $z_{i+}$ 相交时，原点取再两轴交点上，当 $z_i$ 和 $z_{i+}$ 平行时，原点取在使 $d_{i+1}=0$ 的地方。

利用连杆坐标系定义相应的连杆参数：

$a_i$ =从 $z_i$ 到 $z_{i+1}$ 沿 $x_i$ 测量的距离（公垂线长度）
$\alpha_i$ =从 $z_i$ 到 $z_{i+1}$ 沿 $x_i$ 旋转的角度
$d_i$ =从 $x_{i-1}$ 到 $x_{i}$ 沿 $z_i$ 测量的距离
$\theta_i$ =从 $x_{i-1}$ 到 $x_{i}$ 沿 $z_i$ 旋转的角度

坐标系 ${i\}$ 相对坐标系 ${i-1\}$ 的变换矩阵 ${}^{i-1}T_{i}$ 可以看作四个子变换矩阵的乘积：

绕 $x_{i-1}$ 轴转 $\alpha_{i-1}$ 角
$t_{x}\left(\alpha_{i-1}\right)=\begin{bmatrix}1 &0&0&0\\ 0&cos\alpha_{i-1}&{-sin\alpha_{i-1}}&0\\0&{sin\alpha_{i-1}}&{cos\alpha_{i-1}}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$
沿 $x_{i-1}$ 轴移动 $a_{i-1}$
$s_{x}\left(a_{i-1}\right)=\begin{bmatrix}1 &0&0&a_{i-1}\\ 0&1&0&0\\0&0&1&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$
沿 $z_{i}$ 轴移动 $\theta_{i}$
$t_{z}\left(\theta_{i}\right)=\begin{bmatrix}{cos\theta_{i}}&{-sin\theta_{i}}&0&0\\ {sin\theta_{i}}&{cos\theta_{i}}&0&0\\0&0&1&0\\ {0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$
沿 $z_{i}$ 轴移动 $d_{i}$
$s_{z}\left(d_{i}\right)=\begin{bmatrix}1 &0&0&0\\ 0&1&0&0\\0&0&1&d_i\\ {0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$

这些变换都是相对运动坐标系描述的，满足从左到右的原则，可以得到最终变换公式如下：

$_{i}^{i-1}T=R o t_{x}\left(\alpha_{i}\right)T r a n s_{x}\left(a_{i}\right)R o t_{z}\left(\theta_{i}\right)T r a n s_{z}\left(d_{i}\right)$
通常规定 $a_i\ge0$ ，因为它代表连杆长度，而 $\alpha_i, d_i, \theta_i$ 可正可负。

$_{i}^{i-1}T=\begin{bmatrix}{cos\theta_{i}}&{-sin\theta_{i}}&0&{a _{i-1}}\\ {sin\theta_{i}cos\alpha_{i-1}}&{cos\theta_{i}cos\alpha_{i-1}}&{-sin\alpha_{i-1}}&{-d_isin\alpha_{i-1}}\\{sin\theta_{i}sin\alpha_{i-1}}&{cos\theta_{i}sin\alpha_{i-1}}&{cos\alpha_{i-1}}&{d_icos\alpha_{i-1}}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$

2.Matlab符号运算验证

利用Matlab的符号运算进行公式推导进行一下公式的验证

syms theta d alpha a
M=DH_Trans(theta,d,alpha,a)
function M=DH_Trans(theta,d,alpha,a)
    R_z_theta=[cos(theta),-sin(theta),0,0;...
        sin(theta),cos(theta),0,0;...
        0,0,1,0;...
        0,0,0,1];
    T_z_d=[1,0,0,0;...
        0,1,0,0;...
        0,0,1,d;...
        0,0,0,1];
    R_x_alpha=[1,0,0,0;...
        0,cos(alpha),-sin(alpha),0;...
        0,sin(alpha),cos(alpha),0;...
        0,0,0,1];
   T_x_a=[1,0,0,a;...
        0,1,0,0;...
        0,0,1,0;...
        0,0,0,1];
   M=R_x_alpha*T_x_a*R_z_theta*T_z_d;
end

结果是一致的
在这里插入图片描述