目录

一、穷 举 法

二、辗 转 相 除 法

三、更 相 减 损 术

四、Stein算法（结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算）

一、穷 举 法

即是最暴力无脑的方法：直接暴力枚举，直到出现一个能同时整除两数的值。但是不推荐，即浪费CPU.又浪费时间。

//穷举法
int divi_0(int x, int y)
{
	if (x < y)
	{
		int tmp = y;
		y = x;
		x = tmp;
	}
	for (int i = y; i >= 1; i-- )
	{
		if (x%i == 0 && y%i == 0)
		{
			return i;
		}
	}
}复制

二、辗 转 相 除 法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：divi(a, b) = divi(a, a%b)

证明：对于 divi(a, b)

`         假设 d 是 a、b 的公约数，r = a%b, a = kb + r, r = a - kb, 即d 也是 r 的公约数；

          对于divi(a, a%b)         

          假设另一 d 是 a, a%b 的公约数，r = a%b, a = kb + r, b = (a - r)k 即d也是 b 的公约数；

由此可证得最大公约数也是相同的。

//辗转相除法
int divi_1(int a, int b)
{
	int divi = 0;
	while (a%b)
	{
		divi = a % b;
		a = b;
		b = divi;
	}
	divi = b;

	return divi;
}复制

三、更 相 减 损 术（尼考曼彻斯法；辗转相减）

更相减损法：更相减损术， 出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。
  ①先判断两个数的大小，如果两数相等，则这个数本身就 是就是它的最大公约数。
  ②如果不相等，则用大数减去小数，然后用这个较小数与它们相减的结果相比较，如果相等，则这个差就是它们的最大公约数，而如果不相等，则继续执行②操作。

原理：divi(a, b) = divi(b, a - b);

证明：假设 d 是a、b的公约数，r = a - b, 则d 是 r 的公约数，同理可证 最后两个数相等时一定是原来两个数的最大公约数。

//更相减损术
int divi_2(int a, int b)
{
	if (a == b)
	{
		return a;
	}
	else if (a > b)
	{
		return divi_2(a - b, b);
	}
	else
	{
		return divi_2(b - a, a);
	}
}复制

四、Stein算法（结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算）

众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是求a,b的最大公约数的函数

1. 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2gcb(a/2, b/2) = 2 * gcb(a>>1, b>>1)
2. 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
3. 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
4. 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b的结果必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

证明：通过辗转相除法和更相减损术的证明易证。

//两者结合后的Stein算法
int Stein(int x, int y)
{
	if (x < y)
	{
		int tmp = x;
		x = y;
		y = tmp;
	}
	if ( x%y == 0)
	{
		return y;
	}
	if (x % 2 == 0 && y % 2 == 0)
	{
		return 2*Stein(x >> 1, y >> 1);
	}
	else if (x%2 == 0 && y%2 != 0)
	{
		return Stein(x >> 1, y);
	}
	else if (x % 2 != 0 && y % 2 == 0)
	{
		return Stein(x, y >> 1);
	}
	else if (x % 2 != 0 && y % 2 != 0)
	{
		return Stein(x, (x - y) >> 1);
	}
}复制

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