模型预测精度（数值regression）评价指标 - RMSE, MAE, MAPE & Bias哪个指标更好？

在销量/需求预测时常用的一些模型评价指标，尤其是在supplychain销量预测等领域，哪些指标好，哪些不好？什么时候用什么指标。

Error
对于每一个数据，error等于预测减去实际值（这里是销量预测，所以为实际需求）
Error = forecast (f) - demand (d)

Bias
测试数据的Error的平均值为Bias，表示模型总体的偏差或者误差。缺点是，由于error有正负，加起来的时候就抵消掉了，有可能不准确。

MAPE mean absolute percentage error

不是一个很好的评价指标，因为如果有一个实际值(demand)很低的时候，这时的百分比会很大，会对最后平均之后的百分比影响较大，如果根据MAPE值进行模型优化，会导致整体预测值小于实际值。最好不要用MAPE。

MAE mean absolute error

预测值与实际值的差值的绝对值，MAE反而是比较好的平均指标。
但有个缺点，就是因为不是正规化后的值，不好比较。比如MAE是10，我们不知道它到底是算好还是不好。如果实际值的平均是1000，那误差很低，但如果实际平均是1，误差则非常大。所以比较的时候，往往除以实际值的平均，做个正规化，这样变成百分比就好比较了，也有人把这个指标也叫MAPE，但是是不一样的。不管它叫什么，一定要解释好指标是怎么算出来的。

RMSE root mean square error

同样可以正规化成百分比如下

很多算法用MSE为标准进行优化，因为容易计算，而且比RMSE容易操控。但是由于它把数值平方了，导致我们不容易理解它和原来数值的关系。所以我们不考虑MSE。

error的权重问题
和MAE相比，RMSE给每个错误的权重是不同的，error越大的数据给的权重越大，这导致只要你有一个非常不好的预测结果，整个RMSE都会很差。
举个例子。下面两个预测，只有最后一个period结果不同，一个是8，一个是9。

来看一下算出的RMSE和MAE，发现RMSE比之前降了6.9%，但MAE相比之下之下降了3.6%。说明RMSE对于某个异常大的错误给与的权重很大，而MAE就相对平均一些。

MAE优化中位数(median) 而RMSE优化平均值(average)
有这样一个数据，
forcast1是一个远低于需求的预测值
forcast2是中位数
forcast3是平均值

你觉得哪个的MAE最好？哪个RMSE最好？哪个MAPE最好？

计算结果如下，

我们发现
forcast1是一个远低于需求的预测值 > MAPE值最好
forcast2是中位数 > MAE值最好
forcast3是平均值 > RMSE值最好

所以其实
MAE优化的是中位数，而RMSE优化的平均值。
MAE是error绝对值，最小化时候看正负两拨预测值如何靠近实际值，即中位数
RMSE最小化时候，看预测值总和如何靠近实际值总和，即平均
（数学公式省略）

MAE 和 RMSE选哪个?
所以究竟选哪个呢？当然你也可以两个都用。但哪个更好不能一概而论，我们先来看下这两个指标分别对偏差bias，异常值(outliers)敏感度，间歇性需求的不同影响。

1. bias
大多数supply chain的数据demand都是skewed。一般demand会不时有一些peak（peak可能由于promotion活动或者客户批量订货），其他时段则很低，总体会成一个skewed 分布。平均值会大于中位数。所以最小化MAE可能会造成偏差，这是MAE的主要弱点。

2. 异常值敏感度
我们提到RMSE对与很大的error给与更多的权重，这使得RMSE对与异常值非常敏感，而注重优化中位数的MAE则对于异常值没那么敏感。（这里举了例子，省略）

但对于异常值敏感一定是坏事么？

3. 间歇性需求
对于间歇性需求的产品，对于异常值敏感可能反而是好事。
举例：我们买一种产品给一个客户，客户喜欢批量购买，三周买一次，一次100件。
那么每周平均需求是33左右，中位数是0。
如果用平均（33件）来预测它每周的销量，由下表可以计算出RMSE为47，MAE为44

如果用中位数(0)来预测，RMSE为58，MAE为33

显然第一个预测每周33的更好一些，但是它的MAE误差反而更高，如果按照MAE指标来选模型，那么就所有预测值都是0了。对于间歇性需求的产品，MAE显然不是一个好指标。

结论
所以MAE，RMSE究竟用哪个是没有一个定论的。如果用MAE导致很高的bias，那就试试RMSE。如果数据里面有很多异常值，导致预测skewed预测结果，那就试试MAE。
报告和模型优化可以用不同的指标来做。如果你的数据每个数据需求量太低，可以aggregate转换成更长期间的数据，比如月次等。如果必须日次预测，可以预测完月次再平均分配回去。这可以让你用MAE作为指标并同时平滑那些peaks。

【参考文献】
https://towardsdatascience.com/forecast-kpi-rmse-mae-mape-bias-cdc5703d242d