LMS算法的基本理论和MATLAB仿真

1 基本理论

最小均方算法，LMS算法，least-mean-square-algorithm
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2 仿真

2.1 第一种信号：期望信号+噪声

2.1.1 没有蒙特卡洛

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      LMS自适应滤波算法
%   由于射频前端低噪放、滤波等电路的不一致性，导致相同的接收信号通过接收通道后，
%   信号幅度和相位并不相同。为此，需要对通道的幅相误差进行校正。  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all;
clear all;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               参数设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fc=10e6;         % 信号频率
fs=20*fc;        % 采样频率
count=1024;      % 采样点数
SNR=10;          % 信噪比
t=0:1/fs:(count-1)/fs;



% LMS算法相关参数
M=50;       % 滤波器的系数
Num_iteration=count; % 迭代次数




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----第一种信号
dn = sqrt(10^(SNR/10))*cos(2*pi*fc*t);% 期望信号
noise = randn(1,count); % 高斯白噪声
un = dn+noise;          % 输入信号



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号处理
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dn=real(dn); % 得到信号的实部
un=real(un);

un = un.';% 转置为列向量
dn = dn.'; 

% 求收敛常数
lamda_max = max(eig(un*un.'));%求解输入xn的自相关矩阵的最大特征值,A = eig(B),意为将矩阵B的特征值组成向量A
mu = 2*(1/lamda_max);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               LMS算法
% 输入参数：
%     un                输入信号       列向量
%     dn                参考信号       列向量
%     mu                步长因子       标量
%     Num_iteration     迭代次数       标量
%     M                 滤波器阶数     标量
% 输出参数：
%     w    滤波器的系数矩阵    M×Num_iteration  滤波器的系数是一个M列的列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
%     en   误差信号            1×Num_iteration  每一次迭代后产生的误差
%     yn   滤波器的输出信号    1×Num_iteration  行向量
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               绘图
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(t*1e6,dn);hold on;
plot(t*1e6,un);hold on;
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输入信号');


figure(2);
plot(t*1e6,dn,'-r');hold on;
plot(t*1e6,yn,'-b');hold on;
plot(t*1e6,en,'-k');
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输出信号','误差信号');
title('三种信号的比较');

figure(3);
plot(w(1,:),'-r');hold on;
plot(w(2,:),'-b');hold on;
plot(w(3,:),'-k');hold on;
xlabel('迭代次数');ylabel('幅度');
legend('第一个系数','第二个系数','第三个系数');
title('滤波器的系数');


function [w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M)
    %---------------LMS算法
    
    
    % 滤波器的系数是一个列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
    w  = zeros(M,Num_iteration);  % 滤波器系数的初始值  
    en = zeros(1,Num_iteration); % 误差信号的初始值


    %---迭代更新滤波器的参数
    for k = M:Num_iteration     % 保证输入延时后的信号有效，所以实际的迭代次数只有（Num_iteration-M）次，
        % 输入信号 向量U(n)=[u(n)  u(n-1) ...  u(n-M+1)]'  现代数字信号处理及应用的P134 式（4.1.4）
        U = un(k:-1:k-M+1);     % 将输入信号延迟，使得滤波器的每个抽头都有输入  式（4.1.4）
        
        yn(k) = w(:,k)'*U;     % 滤波器的输出信号  式（4.4.6）  共轭转置，不是转置
        
        en(k) = dn(k)-yn(k);    % 误差信号   式（4.4.7）
        
        w(:,k+1) = w(:,k)+mu*U*conj(en(k));% 滤波器权向量的更新方程  式（4.4.8） conj 共轭
    end
    
 
end

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2.1.2 有蒙特卡洛

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      LMS自适应滤波算法
%   由于射频前端低噪放、滤波等电路的不一致性，导致相同的接收信号通过接收通道后，
%   信号幅度和相位并不相同。为此，需要对通道的幅相误差进行校正。  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all;
clear all;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               参数设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fc=10e6;         % 信号频率
fs=20*fc;        % 采样频率
count=1024;      % 采样点数
SNR=10;          % 信噪比
t=0:1/fs:(count-1)/fs;


% LMS算法相关参数
M=50;       % 滤波器的系数
Num_iteration=count; % 迭代次数



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               蒙特卡罗仿真
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Monte_Times=50; % 蒙特卡罗次数
sum_w=0;
sum_en=0;
sum_yn=0;
for p=1:Monte_Times
    %----第一种信号
    dn = sqrt(10^(SNR/10))*cos(2*pi*fc*t);% 期望信号
    noise = randn(1,count); % 高斯白噪声
    un = dn+noise;          % 输入信号


    dn=real(dn); % 得到信号的实部
    un=real(un);

    un = un.';   % 转置为列向量
    dn = dn.'; 

    % 求收敛常数
    lamda_max = max(eig(un*un.'));%求解输入xn的自相关矩阵的最大特征值,A = eig(B),意为将矩阵B的特征值组成向量A
    mu = 2*(1/lamda_max);



    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %               LMS算法
    % 输入参数：
    %     un                输入信号       列向量
    %     dn                参考信号       列向量
    %     mu                步长因子       标量
    %     Num_iteration     迭代次数       标量
    %     M                 滤波器阶数     标量
    % 输出参数：
    %     w    滤波器的系数矩阵    M×Num_iteration  滤波器的系数是一个M列的列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
    %     en   误差信号            1×Num_iteration  每一次迭代后产生的误差
    %     yn   滤波器的输出信号    1×Num_iteration  行向量
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    [w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M);

    
    sum_w=sum_w+w;
    sum_en=sum_en+en;
    sum_yn=sum_yn+yn;
end
mean_w=sum_w/Monte_Times;
mean_en=sum_en/Monte_Times;
mean_yn=sum_yn/Monte_Times;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               绘图
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(t*1e6,dn);hold on;
plot(t*1e6,un);hold on;
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输入信号');


figure(2);
plot(t*1e6,dn,'-r');hold on;
plot(t*1e6,mean_yn,'-b');hold on;
plot(t*1e6,mean_en,'-k');
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输出信号','误差信号');
title('三种信号的比较');

figure(3);
plot(mean_w(1,:),'-r');hold on;
plot(mean_w(2,:),'-b');hold on;
plot(mean_w(3,:),'-k');hold on;
xlabel('迭代次数');ylabel('幅度');
legend('第一个系数','第二个系数','第三个系数');
title('滤波器的系数');

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2.2 第二种信号：期望信号+幅相误差

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      LMS自适应滤波算法
%   由于射频前端低噪放、滤波等电路的不一致性，导致相同的接收信号通过接收通道后，
%   信号幅度和相位并不相同。为此，需要对通道的幅相误差进行校正。  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all;
clear all;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               参数设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fc=10e6;         % 信号频率
fs=20*fc;        % 采样频率
count=1024;      % 采样点数
SNR=0;           % 信噪比
t=0:1/fs:(count-1)/fs;

% 幅度和相位误差相关参数
thetas=30;  % 目标入射角度
fines=50;

% LMS算法相关参数
M=50;       % 滤波器的系数
Num_iteration=count; % 迭代次数




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----第二种信号
% 期望信号功率小于输入信号
dn = sqrt(10^(SNR/10))*exp(1j*2*pi*fc*t);      % 期望信号
un=0.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines)) ;% 输入信号







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号处理
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dn=real(dn); % 得到信号的实部
un=real(un);

un = un.';% 转置为列向量
dn = dn.'; 

% 求收敛常数
lamda_max = max(eig(un*un.'));%求解输入xn的自相关矩阵的最大特征值,A = eig(B),意为将矩阵B的特征值组成向量A
mu = 2*(1/lamda_max);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               LMS算法
% 输入参数：
%     un                输入信号       列向量
%     dn                参考信号       列向量
%     mu                步长因子       标量
%     Num_iteration     迭代次数       标量
%     M                 滤波器阶数     标量
% 输出参数：
%     w    滤波器的系数矩阵    M×Num_iteration  滤波器的系数是一个M列的列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
%     en   误差信号            1×Num_iteration  每一次迭代后产生的误差
%     yn   滤波器的输出信号    1×Num_iteration  行向量
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               绘图
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(t*1e6,dn);hold on;
plot(t*1e6,un);hold on;
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输入信号');


figure(2);
plot(t*1e6,dn,'-r');hold on;
plot(t*1e6,yn,'-b');hold on;
plot(t*1e6,en,'-k');
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输出信号','误差信号');
title('三种信号的比较');

figure(3);
plot(w(1,:),'-r');hold on;
plot(w(2,:),'-b');hold on;
plot(w(3,:),'-k');hold on;
xlabel('迭代次数');ylabel('幅度');
legend('第一个系数','第二个系数','第三个系数');
title('滤波器的系数');

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.3 第三种信号：期望信号+幅相误差+噪声

2.3.1 没有蒙特卡洛

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      LMS自适应滤波算法
%   由于射频前端低噪放、滤波等电路的不一致性，导致相同的接收信号通过接收通道后，
%   信号幅度和相位并不相同。为此，需要对通道的幅相误差进行校正。  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all;
clear all;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               参数设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fc=10e6;         % 信号频率
fs=20*fc;        % 采样频率
count=1024;      % 采样点数
SNR=10;          % 信噪比
t=0:1/fs:(count-1)/fs;

% 幅度和相位误差
thetas=30;  % 目标入射角度
fines=50;

% LMS算法相关参数
M=50;       % 滤波器的系数
Num_iteration=count; % 迭代次数




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----第三种信号
% 期望信号功率小于输入信号
dn = sqrt(10^(SNR/10))*exp(1j*2*pi*fc*t);            % 期望信号
noise = randn(1,count); % 高斯白噪声
un=2.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度大于期望信号，此时可以校正
% un=0.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度小于期望信号，此时不能校正



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               信号处理
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
dn=real(dn); % 得到信号的实部
un=real(un);

un = un.';% 转置为列向量
dn = dn.'; 

% 求收敛常数
lamda_max = max(eig(un*un.'));%求解输入xn的自相关矩阵的最大特征值,A = eig(B),意为将矩阵B的特征值组成向量A
mu = 2*(1/lamda_max);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               LMS算法
% 输入参数：
%     un                输入信号       列向量
%     dn                参考信号       列向量
%     mu                步长因子       标量
%     Num_iteration     迭代次数       标量
%     M                 滤波器阶数     标量
% 输出参数：
%     w    滤波器的系数矩阵    M×Num_iteration  滤波器的系数是一个M列的列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
%     en   误差信号            1×Num_iteration  每一次迭代后产生的误差
%     yn   滤波器的输出信号    1×Num_iteration  行向量
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               绘图
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(t*1e6,dn);hold on;
plot(t*1e6,un);hold on;
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输入信号');


figure(2);
plot(t*1e6,dn,'-r');hold on;
plot(t*1e6,yn,'-b');hold on;
plot(t*1e6,en,'-k');
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输出信号','误差信号');
title('三种信号的比较');

figure(3);
plot(w(1,:),'-r');hold on;
plot(w(2,:),'-b');hold on;
plot(w(3,:),'-k');hold on;
xlabel('迭代次数');ylabel('幅度');
legend('第一个系数','第二个系数','第三个系数');
title('滤波器的系数');

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.3.2 有蒙特卡洛

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      LMS自适应滤波算法
%   由于射频前端低噪放、滤波等电路的不一致性，导致相同的接收信号通过接收通道后，
%   信号幅度和相位并不相同。为此，需要对通道的幅相误差进行校正。  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; 
close all;
clear all;


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               参数设置
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fc=10e6;         % 信号频率
fs=20*fc;        % 采样频率
count=1024;      % 采样点数
SNR=10;          % 信噪比
t=0:1/fs:(count-1)/fs;

% 幅度和相位误差
thetas=30;  % 目标入射角度
fines=50;

% LMS算法相关参数
M=50;       % 滤波器的系数
Num_iteration=count; % 迭代次数



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               蒙特卡罗仿真
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Monte_Times=50; % 蒙特卡罗次数
sum_w=0;
sum_en=0;
sum_yn=0;
for p=1:Monte_Times
    %----第三种信号
    % 期望信号功率小于输入信号
    dn = sqrt(10^(SNR/10))*exp(1j*2*pi*fc*t);            % 期望信号
    noise = randn(1,count); % 高斯白噪声
    un=2.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度大于期望信号，此时可以校正
    % un=0.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度小于期望信号，此时不能校正


    dn=real(dn); % 得到信号的实部
    un=real(un);

    un = un.';   % 转置为列向量
    dn = dn.'; 

    % 求收敛常数
    lamda_max = max(eig(un*un.'));%求解输入xn的自相关矩阵的最大特征值,A = eig(B),意为将矩阵B的特征值组成向量A
    mu = 2*(1/lamda_max);



    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %               LMS算法
    % 输入参数：
    %     un                输入信号       列向量
    %     dn                参考信号       列向量
    %     mu                步长因子       标量
    %     Num_iteration     迭代次数       标量
    %     M                 滤波器阶数     标量
    % 输出参数：
    %     w    滤波器的系数矩阵    M×Num_iteration  滤波器的系数是一个M列的列矢量，Num_iteration表示迭代次数，每一次迭代都是一个列矢量
    %     en   误差信号            1×Num_iteration  每一次迭代后产生的误差
    %     yn   滤波器的输出信号    1×Num_iteration  行向量
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    [w,en,yn] = my_LMS(un,dn,mu,Num_iteration,M);

    
    sum_w=sum_w+w;
    sum_en=sum_en+en;
    sum_yn=sum_yn+yn;
end
mean_w=sum_w/Monte_Times;
mean_en=sum_en/Monte_Times;
mean_yn=sum_yn/Monte_Times;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%               绘图
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(t*1e6,dn);hold on;
plot(t*1e6,un);hold on;
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输入信号');


figure(2);
plot(t*1e6,dn,'-r');hold on;
plot(t*1e6,mean_yn,'-b');hold on;
plot(t*1e6,mean_en,'-k');
xlabel('时间/us');ylabel('幅度');
legend('期望信号','输出信号','误差信号');
title('三种信号的比较');

figure(3);
plot(mean_w(1,:),'-r');hold on;
plot(mean_w(2,:),'-b');hold on;
plot(mean_w(M-2,:),'-k');hold on;
plot(mean_w(M-1,:),'-g');hold on;
xlabel('迭代次数');ylabel('幅度');
legend('第一个系数','第二个系数','倒数第二个系数','倒数第一个系数');
title('滤波器的系数');

在这里插入图片描述
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3 注意点

un=1.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度大于期望信号，此时可以校正
% un=0.5*dn*exp(1j*pi*sind(thetas)*sind(fines))+noise ;% 输入信号的幅度小于期望信号，此时不能校正
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