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4.3.1 连续型随机变量

正态（高斯）分布

正态/高斯分布式最常用的分布之一。如果一个随机变量的概率密度函数为：
f x ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − ( x − μ ) 2 σ 2 } ， f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ \frac{-(x-\mu)}{2\sigma^2} \}， fx​(x)=2πσ2 ​1​exp{2σ2−(x−μ)​}， 这是关于参数$\mu$(均值)为钟型的曲线。

图形特征

• 在$x=\mu$处，取得最大值
• 中间呈现凸形，两旁凹陷

它的分布函数由下面的变上限积分给出：
F x ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − ( t − μ ) 2 2 σ 2 } d t ≡ G ( x − μ σ ) F_x(x) = P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \{ - \frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \} \text{d} t \equiv G(\frac{x-\mu}{\sigma}) Fx​(x)=P(X≤x)=∫−∞x​2πσ2 ​1​exp{−2σ2(t−μ)2​}dt≡G(σx−μ​) 其中， G ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π exp ⁡ { − y 2 2 } d y G(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2 \pi} \exp \{ -\frac{y^2}{2} \} \text{d} y G(x)=∫−∞x​2π1​exp{−2y2​}dy 是最常使用的表达式。

因为$f_x(x)$仅依赖两个参数$\mu$和${\sigma }^2$，常使用$$\mathbf{x}\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$来表达高斯概率密度函数，其中$\sim$ stands for “distributed as”。

标准正态分布的分布函数$\mathbf{\Phi }$为:
Φ = P ( X ≤ x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x exp ⁡ { − t 2 2 } d t \mathbf{\Phi} = P(X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t Φ=P(X≤x)=2π ​1​∫−∞x​exp{−2t2​}dt 令$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，则$$P(x_1<X<x_2)=\mathbf{\Phi }(\frac{{\mathbf{x}}_2-\mu }{\sigma })-\mathbf{\Phi }(\frac{{\mathbf{x}}_1-\mu }{\sigma })$$

注意：常数$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$是一个归一化常数，它保证$f_x(x)$在$(-\infty ,\infty )$的积分等于1，这是因为 f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ exp ⁡ { − x 2 2 σ 2 } = 2 π σ 2 f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \exp \{ -\frac{x^2}{2 \sigma^2} \} = \sqrt{2 \pi \sigma^2} f(x)=∫−∞∞​exp{−2σ2x2​}=2πσ2 ​。

特别地，$\mathbf{x}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$常被称为标准复高斯随机变量。

性质

Independent Gaussian $\pm$ Gaussian

• 如果$X\sim (\mu ,{\sigma }^2)$且$a$和$b$是实数，则$aX\pm b\sim N(a\mu \pm b,(a\sigma {)}^2)$
• 如果$X\sim ({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$与$Y\sim ({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$是统计独立(independent statistical)的正态随机变量 ,则它们的和/差也满足高斯分布 $$U=X+Y\sim ({\mu }_X+{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)$$ $$V=X-Y\sim ({\mu }_X-{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)$$ 其中U和V相互独立。

Gaussian $\times /÷$ Gaussian

• 如果$X\sim (0,{\sigma }_X^2)$与$Y\sim (0,{\sigma }_Y^2)$是独立(Independent)的正态随机变量, 则积$XY$服从概率密度函数为$p$的分布
  $$p(z)=\frac{1}{\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y}{I}_0\left(\frac{|z|}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\right).$$ 其中，$I_0(x)$是零阶修正贝塞尔函数（Zeroth-order modified Bessel function）：$I_n(\alpha )=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{e}^{\alpha \cos x}\mathrm{d}x$。
  注意：$n$阶修正贝塞尔函数为：$I_n(\alpha )=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (nx)e^{\alpha \cos x}\mathrm{d}x$。

$Z=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$

• 如果$X_1,X_2,...,X_N$满足独立标准正态随机变量，即$X_1,X_2,...,X_N\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$，则$X_1^2+X_2^2+...+X_N^2$满足自由度为$n$的卡方分布

例如：

Complex Gaussian distriubution $Z=X+iY\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$, $X\sim N(0,1/2)$ and $Y\sim N(0,1/2)$.

$|Z{|}^2=X^2+Y^2$ where $|Z|$ follows the Reyleigh distribution.

$2|Z{|}^2=2X^2+2Y^2\sim {\chi }_2^2$，where $2|Z{|}^2$ follows Chi-squared distribition, $2X^2\sim N(0,1/2)$, and $2Y^2\sim N(0,1/2)$.

复正态（高斯）分布

若复高斯分布$Z=X+iY$，且满足$X\sim ({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$,$Y\sim ({\mu }_y,{\sigma }_y^2)$,$\mu ={\mu }_x={\mu }_y$,$\sigma ={\sigma }_x^2={\sigma }_y^2$,则${\mu }_z={\mu }_x+i{\mu }_y,{\sigma }_z^2=2{\sigma }_x^2=2{\sigma }_y^2$.
The probability density function of the 2-D random variable $(x,y)$ is
$$p_{xy}=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left\{-\frac{{\left(x-{\mu }_z\right)}^2+{\left(y-{\mu }_y\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}.$$ Noting that $Z=X+iY$, the probability density function can be represented in terms of $z$: $$p_z=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left\{-\frac{{\left(z-{\mu }_z\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}.$$ $$p_z=\frac{1}{\pi {\sigma }_z^2}\exp \left\{-\frac{{\left(z-{\mu }_z\right)}^2}{{\sigma }_z^2}\right\}.$$
注意：复高斯随机变量的密度函数，分母无根号。

零均值循环对称负高斯随机变量
当$\mu ={\mu }_x={\mu }_y=0$，$Z$称为零均值循环对称复高斯随机变量（Zero Mean Circle Symmetric Complex Gaussian, ZMCSCG）,${\sigma }^2$称为每个实数维度上的方差。
若$X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1/2),Y\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(1/2)$，则$Z\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1).$

与正态分布相关的函数

1. Q函数

Q函数又称标准正态分布的右尾函数。
Q ( x ) = P ( X > x ) = ∫ x ∞ 1 2 π exp ⁡ { − t 2 2 } d t = 1 − Φ ( x ) . Q(x) =P(X>x) =\int_{x}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \{ -\frac{t^2}{2} \} \text{d} t =1-\bf{\Phi}(x). Q(x)=P(X>x)=∫x∞​2π ​1​exp{−2t2​}dt=1−Φ(x).

• $Q(x)$与标准正态分布函数：$Q(x)=1-\mathbf{\Phi }(x)$

2. 误差函数（Error Function）

正态函数的积分是一个非基本函数（即不是初等函数）, 称为误差函数（高斯误差函数，Gauss error function）。
e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x exp ⁡ { − t 2 } d t erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \exp \{-t^2 \} \text{d} t erf(x)=π ​2​∫0x​exp{−t2}dt

$Q(x)$与$erf$函数：

• $erf(x)=1-2Q(\sqrt{2}x)$

3. 互补误差函数（Complementary Error Function）

e r f c ( x ) = 2 π ∫ x ∞ exp ⁡ { − t 2 } d t = 1 − e r f ( x ) erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} \exp \{-t^2 \} \text{d} t = 1 - erf(x) erfc(x)=π ​2​∫x∞​exp{−t2}dt=1−erf(x) $$erf(x)+erfc(x)=1$$

$Q(x)$与$erfc$函数：

• $Q(x)=\frac{1}{2}erfc(x/\sqrt{2})$;
• $2Q(\sqrt{2}x)=erfc(x)$;

瑞丽(Rayleigh)分布

如果随机变量$\mathbf{x}$的概率密度函数是： f x ( x ) = { x σ 2 exp ⁡ { − x 2 2 σ 2 } , x ≥ 0 0 , x < 0 f_x(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sigma^2} \exp\{ - \frac{x^2}{2\sigma^2} \},& x \geq 0 \\ \qquad 0, & x<0 \end{cases} fx​(x)={σ2x​exp{−2σ2x2​},0,​x≥0x<0​
注意：

• 在通信系统中，随机接收信号的幅度通常用瑞利分布描述。
• 服从复高斯分布的变量的模用瑞丽分布描述，例如，$X\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$, $|X|$服从瑞利分布，该分布的概率密度函数为 f x ( x ) = x σ 2 exp ⁡ { − x 2 2 σ 2 } , x ≥ 0 f_x(x) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\{ - \frac{x^2}{2\sigma^2} \}, x \geq 0 fx​(x)=σ2x​exp{−2σ2x2​},x≥0, 累积分布函数为$$F_x(x)=1-\exp \left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right).$$
• 如果$A$服从瑞丽分布，则有$\mathbb{E}(A)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma$， $\mathbb{D}(A)=\frac{4-\pi }{2}\sigma$。
• 信道 $h=X+ȷY\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$服从复高斯分布，其中$X,Y\sim \mathcal{N}(0,\frac{{\sigma }^2}{2})$. 则 $|h|=\sqrt{X^2+Y^2}$服从瑞丽分布，其均值为$\mathbb{E}(|h|)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\ast \sqrt{\frac{{\sigma }^2}{2}}=\frac{\pi }{2}\sigma$.

Nakagami-m分布

通过引入参数$m$，从瑞利分布可以导出一类更一般的分布——Nakagami-$m$分布，其概率密度函数为：
f x ( x ) = { 2 Γ ( m ) ( m Ω ) m x 2 m − 1 exp ⁡ { − m x 2 Ω } , x > 0   0 , x ≤ 0 f_x(x) = \begin{cases} \frac{2}{\Gamma(m)} \left( \frac{m}{\Omega} \right)^m x^{2m-1} \exp\{ - \frac{mx^2}{\Omega} \},& x > 0 \\ \qquad \qquad ~ 0, & x \leq 0 \end{cases} fx​(x)={Γ(m)2​(Ωm​)mx2m−1exp{−Ωmx2​}, 0,​x>0x≤0​
与瑞丽分布相比，Nakagami-$m$分布在模拟通信理论中衰落信道时具有更大的灵活性。在上式中，$m=1$对应瑞丽分布，并且通过调整$m$可控制密度函数的拖尾。如下图所示，当$m<1$时，密度函数的拖尾衰减比瑞利分布慢，$m>1$，拖尾衰减比瑞利分布快。

均匀分布

若随机变量$\mathbf{x}$的密度函数在区间$(a,b)$是常数，$-\infty <a<b<+\infty$，而其他地方为零，即 $$f_x(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& others\end{array}$$ 则称它服从均匀分布，纪作$\mathbf{x}\sim U(a,b)$。密度函数如下图所所示，其分布函数为：
$$F_x(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge b\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 0,& x<a\end{array}.$$

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卡方分布（Chi-Square Distribution）

• 如果$X_1,X_2,...,X_n$满足独立标准正态随机变量，$X_1,X_2,...,X_N\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$，则$X^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$满足自由度为$n$的卡方分布, 即$X^2\sim {\chi }^2(2)$, 其中自由度为独立变量的个数。

• 卡方分布的概率密度为
  $$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\Gamma (n/2)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$ 其中$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\text{d}x$.

• $E(X^2)=n,D(X^2)=2n$

• 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度$n$很大时，卡方分布近似为正态分布。

• $n$为2时，分布的CDF为：$F(x)={\int }_{-\infty }^x\exp (-\frac{1}{2}t)\text{d}t$

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