Pytorch权重初始化方法——Kaiming、Xavier

结论

结论写在前。Pytorch线性层采取的默认初始化方式是Kaiming初始化，这是由我国计算机视觉领域专家何恺明提出的。我的探究主要包括：

• 为什么采取Kaiming初始化？
• 考察Kaiming初始化的基础——Xavier初始化的公式
• 考察Kaiming初始化的公式
• 用Numpy实现一个简易的Kaiming初始化

为什么采取Kaiming初始化？

采取固定的分布？

当考虑怎么初始化权重矩阵这个问题时，可以想到应该使得初始权重具有随机性。提到随机，自然的想法是使用均匀分布或正态分布，那么我们如果采用与模型无关的固定分布（例如标准正态分布（均值为0，方差为1））怎么样？下面我们分析如果对模型本身不加考虑，采取固定的分布，会有什么问题：

• 如果权重的绝对值太小，在多层的神经网络的每一层，输入信号的方差会不断减小；当到达最终的输出层时，可以理解为输入信号的影响已经降低到微乎其微。一方面训练效果差，另一方面可能会有梯度消失等问题。（此处从略，参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/25631496）
• 如果权重的绝对值太大，同样道理，随着深度的加深，可能会使输入信号的方差过大，这会造成梯度爆炸或消失的问题。

这里举一个例子，假如一个网络使用了多个sigmoid作为中间层（这个函数具有两边导数趋于0的特点）：

• 如果权重初始绝对值太小，随着深度的加深，输入信号的方差过小。当输入很小时，sigmoid函数接近线性，深层模型也失去了非线性性的优点。（模型效果）
• 如果权重初始绝对值太大，随着深度的加深，输入信号的方差过大。绝对值过大的sigmoid输入意味着激活变得饱和，梯度将开始接近零。（梯度消失）

Xavier初始化

前面的问题提示我们要根据模型的特点（维度，规模）决定使用的随机化方法（分布的均值、方差），xavier初始化应运而生，它可以使得输入值经过网络层后方差不变。pytorch中这一点是通过增益值gain来实现的，下面的函数用来获得特定层的gain：

torch.nn.init.calculate_gain(nonlinearity, param=None)
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增益值表（图片摘自https://blog.csdn.net/winycg/article/details/86649832）

Xavier初始化可以采用均匀分布 U(-a, a)，其中a的计算公式为：
$$a=gain\times \sqrt[]{\frac{6}{fan\_in+fan\_out}}$$
Xavier初始化可以采用正态分布 N(0, std)，其中std的计算公式为：
$$std=gain\times \sqrt[]{\frac{2}{fan\_in+fan\_out}}$$
其中fan_in和fan_out分别是输入神经元和输出神经元的数量，在全连接层中，就等于输入输出的feature数。

Kaiming初始化

Xavier初始化在Relu层表现不好，主要原因是relu层会将负数映射到0，影响整体方差。所以何恺明在对此做了改进提出Kaiming初始化，一开始主要应用于计算机视觉、卷积网络。

Kaiming均匀分布的初始化采用U(-bound, bound)，其中bound的计算公式为：(a 的概念下面再说)
$$bound=\sqrt[]{\frac{6}{(1+a^2)\times fan\_in}}$$
这里补充一点，pytorch中这个公式也通过gain作为中间变量实现，也就是：
$$bound=gain\times \sqrt[]{\frac{3}{fan\_in}}$$
其中:
$$gain=\sqrt{\frac{2}{1+a^2}}$$
Kaiming正态分布的初始化采用N(0,std)，其中std的计算公式为：
$$std=\sqrt[]{\frac{2}{(1+a^2)\times fan\_in}}$$
这里稍微解释一下a的含义，源码中的解释为

the negative slope of the rectifier used after this layer
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简单说，是用来衡量这一层中负数比例的，负数越多，Relu层会将越多的输入“抹平”为0，a用来平衡这种“抹平”对于方差的影响。

Pytorch Linear层默认初始化

pytorch的线性层进行的默认初始化的例子：

fc1 = torch.nn.Linear(28 * 28, 256)
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在Linear类中通过

self.reset_parameters()
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这个函数来完成随机初始化的过程，后者使用的是

init.kaiming_uniform_(self.weight, a=math.sqrt(5))
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可见是我们前面提到的Kaiming均匀分布的初始化方式，这个函数的内容和前面的公式相符（使用gain作为中间变量）：

fan = _calculate_correct_fan(tensor, mode)
gain = calculate_gain(nonlinearity, a)
std = gain / math.sqrt(fan)
bound = math.sqrt(3.0) * std  # Calculate uniform bounds from standard deviation
with torch.no_grad():
    return tensor.uniform_(-bound, bound)
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同时将参数a 的值设置为5。

使用numpy完成get_torch_initialization

简单起见，我没有按照pytorch的封装方法分层实现初始化过程，后者主要为了提供多种不同的初始化方式。我直接按照线性层默认的初始方式——Kaiming均匀分布的公式用numpy实现了get_torch_initialization，其中a值取5， 代码如下：

def get_torch_initialization(numpy = True):

    a = 5

    def Kaiming_uniform(fan_in,fan_out,a):
        bound = 6.0 / (1 + a * a) / fan_in
        bound = bound ** 0.5
        W = np.random.uniform(low=-bound, high=bound, size=(fan_in,fan_out))
        return W

    W1 = Kaiming_uniform(28 * 28, 256, a)
    W2 = Kaiming_uniform(256, 64, a)
    W3 = Kaiming_uniform(64, 10, a)
    return W1,W2,W3
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