噪音的产生

所谓噪音，就是指在原始信号中出现了我们不希望的信号，或者干扰。了解噪音的生成方法，是为了方便我们更好的评估去噪函数。通常，在图像学领域，由于传感器的原因，会出现3种比较常见的噪音。

分别是椒盐噪音、高斯噪音以及泊松噪音。现在就来分别了解下这些噪音的产生原因，以及手工实现噪音产生的方法。

噪音函数

之所以降噪，是因为在图像数据的存储、传输过程中，通常会因为电子元器件之间的电磁干扰产生，又或者图像数据在传输过程中遇到来自自然界、或者人为的干扰。

举个例子来说，过去黑白电视机经常由于电信号干扰，而在图像中产生雪花。又或者是拿一个强磁，对着电子管的电视机进行干扰，而在图像中出现一些水纹波。

那么，工程师们根据经验，把常见噪音进行了以下几种的分类。

1. 椒盐噪音（Salt Pepper Noise）

椒盐噪声(salt-and-pepper noise)又称脉冲噪声，它随机改变一些像素值，在二值图像上表现为使一些像素点变白，一些像素点变黑。 是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声，也就是老人们比较熟悉的所谓“雪花”。

$$N=\{\begin{array}{cc}0& pepper\\ 255& salt\end{array}$$

def salt_pepper_noise(image, ratio):
    output = np.zeros(image.shape, np.uint8)

    for i in range(image.shape[0]):
        for j in range(image.shape[1]):

            rand = random.random()
            if rand < ratio:  # salt pepper noise
                if random.random() > 0.5:  # change the pixel to 255
                    output[i][j] = 255
                else:
                    output[i][j] = 0
            else:
                output[i][j] = image[i][j]

    return output

输出效果：

2. 高斯噪音（Gaussian Noise）

文字的描述比较枯燥，我这里就直接贴一张图来说明什么叫高斯噪音

首先从一维来介绍，假设某一种有效信号它表示为$\mu$，而随着时间的延续，比方说这个信号是来自某种温度传感器，由于传感器老化或者传输信号出现了某种干扰，这些干扰的信号范围在$[-3\sigma ,3\sigma ]$之间，然后我们把这段时间内噪音的振幅收集并且整理后，发现它符合正态分布曲线，亦或者称为高斯曲线，那么这样的噪音就称为高斯噪音。

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{(}-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

这个公式简单的说一下：

• 曲线关于$x=\mu$ 对称，通常这个值对应的是信号本号
• $x=\mu$ 处为正态分布的最大值，振幅为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，也就是信号本号自身的强度，亦或者说是期望值
• 而$\sigma$所决定的，就是噪音信号的分布情况，数学上称这玩意为标准差
• 当标准差越小，信号噪音就越集中在期望值附近，换句话说也就是信号受噪音影响程度越小，而标准差越大，信号就越模糊。

所以，如果将信号挪到了0上，而噪音分布的标准差为1的时候，这个就是小学二年级所说的标准正态分布了。

现在我们徒手撸一个高斯分布函数的实现：

def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
    exp = math.exp(-1 * (
                       math.pow(x - mu, 2) / (2 * math.pow(sigma, 2))
                   ))
    peak = (math.sqrt(2 * 3.14159) * sigma)

    return exp / peak

如果用numpy，代码可以写的更简单：

def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
	return np.exp(-1*((x-mu)**2)/(2*(sigma**2)))/(math.sqrt(2*np.pi) * sigma)

然后，我们使用numpy的linspace函数，生成X轴坐标，关于这个函数怎么使用的，你可以网上搜素一下它的函数说明。

用一种比较笨的方法计算Y轴坐标：

    mu1, sig1 = 0, 1  # standard distribution
    mu2, sig2 = 1, 1  # move the chart to right
    mu3, sig3 = 0, 0.5  # increase the noise coverage
    mu4, sig4 = 0, 2.5  # increase the noise coverage
    x = np.linspace(-5, 5, 100)

    y1, y2, y3, y4 = [], [], [], []
    for i in range(50):
        t1 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu1, sig1)
        t2 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu2, sig2)
        t3 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu3, sig3)
        t4 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu4, sig4)

        y1.append(t1)
        y2.append(t2)
        y3.append(t3)
        y4.append(t4)

    plt.plot(x, y1, 'r', label='mu1, sig1 = 0, 1')
    plt.plot(x, y2, 'g', label='mu2, sig2 = 1, 1')
    plt.plot(x, y3, 'b', label='mu3, sig3 = 0, 0.5')
    plt.plot(x, y4, 'm', label='mu4, sig4 = 0, 2.5')
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()

现在我们已经成功的绘制处高斯分布曲线，然后把这个分布曲线函数引入到图像中，用来生成随机噪点。

首先明确一点，高斯噪音的特点是增加或减少原始信号，使得原始信号出现了随机“抖动”，并且抖动范围服从高斯分布（正态分布）。所以如果要生成高斯噪音，那么我们需要在原来高斯核的基础上，增加一个随机数生成器，并且把高斯函数调整为对于X=0轴上的正态分布（不一定是标准正态分布）。

所以，如果有一个正弦信号，那么叠加上高斯噪音后，输出的结果就会呈现上图所示的样子。现在放上实现的代码，它的执行效果不是最好的，但你应该是能看明白噪音的叠加方式。

def gaussian_noise(image, ratio, sigma):
    # generate gaussian kernel
    x = np.linspace(- 4 * sigma, 4 * sigma, 100)
    kernel = gaussian_noise_kernel(x, 0, sigma)

    # output image
    output = np.zeros(image.shape, np.uint8)

    for i in range(image.shape[0]):
        for j in range(image.shape[1]):

            rand = random.random()
            if rand < ratio:  # apply gaussian noise
                pos = int(100 * random.random()

                if x[pos] < 0:
                    temp = image[i][j] * (1 - kernel[pos])
                    if temp < 0:
                        output[i][j] = 0
                    else:
                        output[i][j] = temp
                    continue

                if x[pos] >= 0:
                    temp = image[i][j] * (1 + kernel[pos])
                    if temp > 255:
                        output[i][j] = 255
                    else:
                        output[i][j] = temp

            else:
                output[i][j] = image[i][j]

    return output

3. 泊松噪音（Poisson Noise）

简单的说就是满足泊松分布的噪音，你会觉得它和正态分布很相似，其实如果我们采集的数据越多，精度越密，其形态上它越发接近高斯分布函数，也就是正态分布，是常见的一种满足指数函数分布的离散模型。

泊松分布（Poisson Distribution）

泊松噪音存在的根本原因是因为光是由离散的光子构成（光的粒子性）。光源发出的光子打在CMOS上，从而形成一个可见的光点。光源每秒发射的光子到达CMOS的越多，则该像素的灰度值越大。但是因为光源发射和CMOS接收之间都有可能存在一些因素导致单个光子并没有被CMOS接收到或者某一时间段内发射的光子特别多，所以这就导致了灰度值会有波动，也就是所谓的散粒噪声。举例而言，在光源强度比较低的时候，比如说设定光强为每秒5个光子的时候，那么每秒实际CMOS接受到的光子数可能从0到10（服从泊松分布）¹。

那么，泊松分布或者泊松噪音的基本形式是怎样的呢？

$$P(x=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$$

这里，$\lambda$ 表示的是期望值，既某过程中，在它的给定时间内，事件的发生次数，比方说假设世界杯赛场上，每场比赛的进球数大约在2.5个球，那么$\lambda =2.5$，因此假设对于一场比赛，分别发生0次进球，1次进球，2次进球的概率是²？

出现0次进球
$$P(x=0)=\frac{2.5^0}{0!}{e}^{-2.5}\approx 0.082$$

出现1次进球
$$P(x=1)=\frac{2.5^1}{1!}{e}^{-2.5}\approx 0.205$$

出现2次进球
$$P(x=2)=\frac{2.5^2}{2!}{e}^{-2.5}\approx 0.257$$

出现3次进球
$$P(x=3)=\frac{2.5^3}{3!}{e}^{-2.5}\approx 0.213$$

$$\cdots$$

现在我们把数据绘制到图表上，根据我们推算的进球概率，这样一个概率分布，就是泊松分布了。

泊松分布与光通量

接下来，我们把这个进球的过程换成单位时间内，有多少光子打到像素传感器上的过程³。为了说明这个问题，我们先解释一下照片成像的过程。我们在初中阶段的光学课程上，知道以前的老式相机是光束通过透镜，与胶片上的光感材料作用，把影像印在了胶片上，这个过程和小孔成像很类似。

而现代数码相机的普及，最大的区别就是胶片变成了光传感器。也就是CMOS传感器。由于它是一种光敏材料，在被一定量的光子照射后会产生电子，继而引起数字信号的变化。而在一个CMOS传感器上，有极多的传感单元，而这些传感单元，你可以理解为我们平常提到的像素。

而光子作用在每一个传感单元上所产生的信号不同，最终组合在一起成为了像素照片。所以如果我们把这个过程简化后，假设在单位时间内，有一束光包含有400个光子打到了相机的CMOS传感器上，从微观上说，这些光子是随机的落入到不同的像素传感器内。

因此对应一个像素传感器来说，如果我们统计一个像素在单位时间$t$内，会有多少个光子落入到一个像素传感器内，那么可能会得出$[0,4]$这样的一个结果。那么统计平均落入的光子数，并且绘制它的落入分布情况，我们可能会得出一个泊松分布。

假设这个情况的$\lambda =1.05$，也就是平均每个像素传感器落入1.05个光子，那么它的概率分布图，也就是下面这个样子了：

那么这个模型的标准差$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x})}{n}}\approx 1.024$，而这里的1.024就是光子散粒噪音（photon shot noise）

由于光子极微小，尽管我们假设从物体反射进入到CMOS传感器上的光束在单位时间内为400个光子，但这数量本质上来说是估算，或者说是平均数。因此实际上在单位时间$t$内，传入CMOS的光子数可能是401，也可能是387个光子。

尽管从宏观上光子传播沿直线传播，但在微观上也就是光子运动轨迹存在一定程度的不确定性，这必然导致了噪音的产生。

所以我们可以直观的凭本能知道，如果这样一些带着随机运动的粒子，在击打到某个平面位置时，尽管大范围上符合某个范围的分布区间，但如果细致的观察，每一个落点存在着一定的误差（“噪音”）。

这就像是用霞弹枪、或者抛洒石灰，或者颜料，即便用同一种颜料，同一个角度抛洒到画布上，任然无法做出两幅一样的画的那种奇妙的感觉。

那么，光子到达图像传感器的这些波动如何影响我们的图像？噪点会使照片的视觉细节失真。而下图显示了一组模拟的图像，其中指定了每个像素的平均粒子数或光子数。 这表明对于低数量的光子，噪声占主导地位，但是随着光子数量（光通量）的增加，图像结构变得更加明显。

所以，如果我们要试图模拟泊松噪音，也就是单位像素传感器$p$在单位时间$t$内捕捉到的有效光子量，那么这个过程就是一个所谓的 “泊松过程(Poisson Process)”。

泊松过程(Poisson Process)

现在，我们已经知道了一个概率事件它的随机概率发生分布情况，如果近似符合二项分布的，就是一个泊松分布。现在我们需要反过来，去做一个符合这个分布的随机事件发生过程，而它就是所谓的泊松过程了。

回到上面的例子，如果在单位事件内$t$，向CMOS传感器发射了（或者说物体反射了）一束包含400个光子光束，落在单个像素传感器上的光子数为 $P_s\in [0,4]$ ，我们在不考虑这些光子激发的电子有效率的情况下，假设1个光子落入了像素传感器就会产生1个电子。

也就是说，在单位时间内，一个像素可能接收到0个、1个、2个、3个、4个光子⁴。而如果我们把观察时间微分为$\Delta t$，如果假设在某一个时间内，发生了1个光子击中像素传感器，那么接下来再发生一次光子击中像素传感器的概率就会下降；如果再次发生一次击中，那么等待第三次发生的概率就会更小，直到全部观察时间结束。

这一过程符合于指数，通常情况下，我们用下式表示这个过程，用通俗的话来描述：就是当某事件发生后，后续事件再次发生的概率，随着时间增加而减少

$$P(t_{wait}>t_{event})=e^{-\sigma \cdot t}$$

这里$t$表示时间变量，$\sigma$表示单位时间内$\Delta t$事件怕平均发生次数，或者说是期望。那么，我们同样可以得出某事件发生前的前面的事件发生概率，随着时间减少而增加

$$P(t_{wait}\le t_{event})=1-e^{-\sigma \cdot t}$$

明白了这个公式的概念，接下来我们就可以来模拟这个泊松过程了，那么受限于篇幅，生成泊松随机数的过程我就放在下一章里进行介绍了。

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1. 《泊松噪音》 ↩︎

2. Poisson Distribution, Alexander Katz, Andy Hayes, Tejas Suresh, etc. ↩︎

3. How to Create Awesome Noise That Is Actually Real, Erez Posner
   ↩︎

4. The Poisson Distribution and Poisson Process Explained, Will Koehresen ↩︎