1 时序模型

在时序模型中，以时间t为自变量，研究Y数值自身变化趋势。

研究时间序列数据的意义：在现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化、反映股市行情的各种指数等通常都可以表达为时间序列数据，通过研究这些数据，发现这些经济变量的变化规律（对于某些变量来说，影响其发展变化的因素太多，或者是主要影响变量的数据难以收集，以至于难以建立回归模型来发现其变化发展规律，此时，时间序列分析模型就显现其优势——因为这类模型不需要建立因果关系模型，仅需要其变量本身的数据就可以建模），这样的一种建模方式就属于时间序列分析的研究范畴。而时间序列分析中，ARIMA模型是最典型最常用的一种模型。

2 时间序列内容

时间序列可以分为长期趋势（trend）、季节变动（seasonal）、循环变动（cycling）和随机波动（irregular）四个部分。

• 长期趋势（ T ）现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势
• 季节变动（ S ）现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动
• 循环变动（ C ）现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动
• 不规则变动（I ）是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型

2.1 时间序列模型详解

2.1.1 插值法

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

2.1.2 AR模型

AR模型(Auto regressive Model)是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点（或少数几点）去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。
AR模型（自回归模型），是统计上一种处理时间序列的方法，用同一变数例如x的之前各期，亦即x1至xt-1来预测本期xt的表现，并假设它们为一线性关系。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x预测y，而是用x预测 x（自己）；所以叫做自回归。

2.1.3 MA模型

MA模型(moving average model)称为滑动平均模型，MA模型和AR大同小异，它并非是历史时序值的线性组合而是历史白噪声的线性组合。与AR最大的不同之处在于，AR模型中历史白噪声的影响是间接影响当前预测值的（通过影响历史时序值）。
令{et}代表未观测的白噪声序列，{zt}是观测到的时间序列，将线性过程{zt}表示成现在和过去白噪声变量的加权线性组合，对于以下形式的序列

称为滑动平均MA（q）模型。

2.1.4 ARMA模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。

自回归移动平均模型由两部分组成：自回归部分和移动平均部分，因此包含两个阶数，可以表示为ARMA(p,q)，p是自回归阶数，q为移动平均阶数，回归方程表示为：

从回归方程可知，自回归移动平均模型综合了AR和MA两个模型的优势，在ARMA模型中，自回归过程负责量化当前数据与前期数据之间的关系，移动平均过程负责解决随机变动项的求解问题，因此，该模型更为有效和常用。

2.1.5 ARIMA模型

介绍时间序列平稳性时提到过，AR/MA/ARMA模型适用于平稳时间序列的分析，当时间序列存在上升或下降趋势时，这些模型的分析效果就大打折扣了，这时差分自回归移动平均模型也就应运而生。ARIMA模型能够用于齐次非平稳时间序列的分析，这里的齐次指的是原本不平稳的时间序列经过d次差分后成为平稳时间序列。
在现实生活中，存在很多非平稳的时间序列，它们的均值和方差是随着时间的变化而变化的，幸运的是，统计学家们发现，很多时间序列本身虽然不平稳，但是经过差分（相邻时间点的指标数值相减）之后，形成的新时间序列就变成平稳时间序列了。因此，差分自回归移动平均模型写成ARIMA(p,d,q)。p代表自回归阶数；d代表差分次数；q代表移动平均阶数。在spss软件中，有时输出的ARIMA模型包括6个参数：ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)，这是因为如果时间序列中包含季节变动成分的话，需要首先将季节变动分解出来，然后再分别分析移除季节变动后的时间序列和季节变动本身。这里小写的p,d,q描述的是移除季节变动成分后的时间序列；大写的P,D,Q描述的是季节变动成分。两个部分是相乘的关系。因此，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)也被称为复合季节模型。