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1.1 证明高斯分布满足全概率公理

2.1 假设u，v是两个相同维度的列向量，请证明下面这个等式

2.4 对于高斯分布的随机变量，，请证明期望满足下面这个等式：

2.5 对于高斯分布的随机变量，，请证明协方差满足下面这个等式：

2.6 对于K个相互独立的随机变量，​请证明它们的归一化积仍然是高斯分布

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1.1 证明高斯分布满足全概率公理

即：

分析：观察被积函数的形式，首先对被积函数化简：

系数不影响积分，可以放到积分括号外；沿x轴的平移，也不会影响该定积分的结果（与x轴围成的面积），因此得到：

,  易知：I > 0。

显然分部积分和一些常规的换元方法都不适用，那么注定要走不寻常路，发现系数中存在“”，想必会用到三角函数，指数存在平方项，考虑极坐标代换。所以有了这些大致方向。

证明：

构造二重积分

          令：

     其中：

得到：

                                                            因为： I > 0

回到原问题：

                          

【参考】

为什么高斯分布概率密度函数的积分等于1

高斯分布数学性质及推导（一）：如何证明高斯分布的积分为1

盛骤《概率论与数理统计》高等教育出版社（第四版）P45

2.1 假设u，v是两个相同维度的列向量，请证明下面这个等式

这个不知道怎么证明好，反正列举一下确实是这样

2.4 对于高斯分布的随机变量，，请证明期望满足下面这个等式：

即求：

证明：

• 对于一维的情况：  利用一类换元法很容易求得

先求标准正态分布：

令：                    

于是：              

因：                

得：               

【参考】盛骤《概率论与数理统计》高等教育出版社（第四版）P102

• 对于多维的情况：无从下手，仔细分析之后发现，吓到我们的是陌生的高维形式  

所以先打野发育：

多维高斯分布 

多元高斯分布（The Multivariate normal distribution）

把他拆开了，揉碎了应该是这样（前提是x各变量相互独立，不相互独立形式就比较麻烦了）：

2.5 对于高斯分布的随机变量，，请证明协方差满足下面这个等式：

与2.4同理

• 对于一维的情况：  利用2.4的结论

• 对于多维的情况：

   

2.6 对于K个相互独立的随机变量，请证明它们的归一化积仍然是高斯分布

没读懂题 啥也不是啥也不会，附一个大佬的答案：

 其中伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity） 为：