MATLAB Simmechanics/Simscape四旋翼无人机控制仿真（3） 无人机控制器设计

如果您是非控制专业，那么PID控制足够控制前文所搭建的无人机了：
MATLAB Simmechanics/Simscape四旋翼无人机控制仿真（1） SolidWorks模型的导入.
MATLAB Simmechanics/Simscape四旋翼无人机控制仿真（2） Simulink模型调节.
本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
模型详见：
https://github.com/mkb9559/Simscape-Quadrotor
MATLAB Simmechanics/Simscape四旋翼无人机控制仿真（4） 串级姿态控制.
Demo视频.
最近更新了第二代模型，可以参考：
MATLAB Simmechanics/Simscape四旋翼无人机控制仿真（5） F250旋翼仿真搭建.

1 前言

关于无人机的控制原理这里将不再赘述，控制信息流可以用下面这个图说明：

关于无人机动力学模型推导，这里也不再赘述，不过根据欧拉角旋转顺序，模型会有一些sin和cos上的细微差别，下面直接引用一种动力学模型：

其中$\varphi$，$\theta$和$\psi$分别为滚转角，俯仰角和偏航角
原文：
Bouabdallah, S. , P. Murrieri , and R. Siegwart . “Design and control of an indoor micro quadrotor.” IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2004. Proceedings. ICRA '04. 2004 IEEE, 2004.

2 非线性约束

从前面的控制信息流里面可以看到，无人机只有4个控制输入，其期望的俯仰和滚转角是根据水平控制求解的，而不是给定参考的因此，考虑$u_x$和$u_y$：

反解上式，得到期望俯仰和滚转角：

3 控制器设计

其实6个通道的控制器设计过程都很相似，下面只以滚转角$\varphi$为例。
使用的方法是经典的反步法，如果笔者把书上关于反步法介绍搬过来，那么笔者自己也不能理解书上在说啥哈哈，因此这里将用一种很通俗的方法叙述并设计：
首先滚转角状态方程，令$x_1=\varphi$，$x_2=\dot{\varphi }$：
$$\{\begin{array}{c}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=\frac{l{u}_2+\dot{\theta }\dot{\psi }\left(I_y-I_z\right)}{I_x}\end{array}$$
定义误差：
$$e_1=x_1^d-x_1$$
首先考虑$x_2$作为系统独立输入，要找到一个能使得$e_1\to 0$的状态反馈控制律$x_2=\phi \left(x_1\right)$，因此定义误差：
$$e_2=\phi \left(x_1\right)-x_2$$
考虑：
$$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^2$$
求导：
$$\begin{array}{rl}& {\dot{V}}_1={\dot{e}}_1{e}_1\\ & =e_1\left({\dot{x}}_1^d-{\dot{x}}_1\right)\\ & =e_1\left({\dot{x}}_1^d-x_2\right)\\ & =e_1\left({\dot{x}}_1^d-e_2+\phi \left(x_1\right)\right)\end{array}$$
$\phi \left(x_1\right)$中不含$x_2$相关项，因此这里交叉项 $e_1{e}_2$会保留，令$\phi \left(x_1\right)=-{\dot{x}}_1^d+c_1{e}_1$，$c_1>0$，则：
$${\dot{V}}_1=-e_1{e}_2-c_1{e}_1^2$$
由上式可知：
$${\dot{e}}_1=-e_2-c_1{e}_1$$
因此，上式求导得：
$${\dot{e}}_2=-{\ddot{e}}_1-c_1{\dot{e}}_1$$
考虑：
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^2$$
求导:
$$\begin{array}{rl}& {\dot{V}}_2={\dot{V}}_1+{\dot{e}}_2{e}_2\\ & =-c_1{e}_1^2+e_2\left({\dot{e}}_2-e_1\right)\\ & =-c_1{e}_1^2+e_2\left(-{\ddot{e}}_1-c_1{\dot{e}}_1-e_1\right)\\ & =-c_1{e}_1^2+e_2\left(-{\ddot{x}}_1^d+{\dot{x}}_2-c_1{\dot{e}}_1-e_1\right)\end{array}$$
为了上式稳定，令 $-{\ddot{x}}_1^d+{\dot{x}}_2-c_1{\dot{e}}_1-e_1=-c_2{e}_2$，$c_2>0$，得：
$$\begin{array}{rl}& {\ddot{x}}_2={\ddot{x}}_1^d+c_1{\dot{e}}_1+e_1-c_2{e}_2\\ & ={\ddot{x}}_1^d+c_1{\dot{e}}_1+e_1-c_2\left(-{\dot{e}}_1-c_1{e}_1\right)\\ & ={\ddot{x}}_1^d+\left(c_1+c_2\right){\dot{e}}_1+\left(1+c_1{c}_2\right)e_1\end{array}$$
求解$u_2$：
$$\begin{array}{rl}& \frac{l{u}_2+\dot{\theta }\dot{\psi }\left(I_y-I_z\right)}{I_x}={\ddot{x}}_1^d+\left(c_1+c_2\right){\dot{e}}_1+\left(1+c_1{c}_2\right)e_1\\ & u_2=\frac{\left[{\ddot{x}}_1^d+\left(c_1+c_2\right){\dot{e}}_1+\left(1+c_1{c}_2\right)e_1\right]I_x-\dot{\theta }\dot{\psi }\left(I_y-I_z\right)}{l}\end{array}$$
调节系数的时候可以用下式：
$$u_2=\frac{\left[{\ddot{x}}_1^d+k_1{\dot{e}}_1+k_2{e}_1\right]I_x-\dot{\theta }\dot{\psi }\left(I_y-I_z\right)}{l}$$
其中：
$$\{\begin{array}{c}{k}_1>0\\ k_2>1\end{array}$$
上式总能解出$c_1$和$c_2$。

4 控制效果

这里简单放一下：